Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Chương 2: Phân thức đại số sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 8.

Lý thuyết Toán lớp 8 Chương 2: Phân thức đại số

A. Lý thuyết Chương 2: Phân thức đại số

1. Khái niệm về phân thức đại số

1.1. Định nghĩa

Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{P}{Q}$, trong đó P, Q là những đa thức và Q khác đa thức 0.

P được gọi là tử thức (hay tử), Q được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Chú ý: Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt, mỗi số thực cũng là một phân thức.

1.2. Hai phân thức bằng nhau

Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C, viết là $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$.

2. Tính chất cơ bản của phân thức

2.1. Tính chất cơ bản

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{P}{Q}=\frac{P.M}{Q.M}$  với M là một đa thức khác đa thức 0.

- Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

 $\frac{P}{Q}=\frac{P:N}{Q:N}$ với N là một nhân tử chung của P và Q.

2.2. Ứng dụng

a) Rút gọn phân thức

Khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của của chúng để được phân thức mới (đơn giản hơn) thì cách làm đó được gọi là rút gọn phân thức.

Nhận xét: Muốn rút gọn một phân thức, ta có thể làm như sau:

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần)

Bước 2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

b) Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Khi biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới bằng chúng và có cùng mẫu thức thì cách biến đổi đó được gọi là quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.
Nhận xét:

+ Mẫu thức chung (MTC) chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.

+ Muốn quy đồng mẫu thức thành nhiều phân thức, ta có thể làm như sau:

Bước 1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) rồi tìm MTC.

Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (bằng cách chia MTC cho từng mẫu).

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng.

Ví dụ: Quy đồng mẫu thức các phân thức $\frac{1}{4x+6};\frac{3}{4x-6};\frac{2}{4x^2-9}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: 4x + 6 = 2(2x + 3);

4x – 6 = 2(2x – 3);

4x² – 9 = (2x + 3)(2x – 3).

Chọn MTC là: 2(2x + 3)(2x – 3)

Vậy    $\frac{1}{4x+6}=\frac{1}{2\left(2x+3\right)}=\frac{2x-3}{2\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}$;

          $\frac{3}{4x-6}=\frac{3}{2\left(2x-3\right)}=\frac{3\left(2x+3\right)}{2\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}$;

          $\frac{2}{4x^2-9}=\frac{2}{\left(2x+3\right)\left(2x+3\right)}=\frac{4}{2\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}$.

2.3. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức

- Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 được gọi là điểu kiện xác định của phân thức.

- Cho phân thức $\frac{P}{Q}$. Giá trị của biểu thức $\frac{P}{Q}$ tại những giá trị cho trước của các biến sao cho giá trị của mẫu thức khác 0 được gọi là giá trị của phân thức $\frac{P}{Q}$ tại những giá trị cho trước của các biến đó.

Nhận xét:

Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của một phân thức được xác định thì phân thức đó và phân thức rút gọn của nó có cùng một giá trị.

3. Phép cộng các phân thức đại số

3.1. Cộng hai phân thức cùng mẫu

Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu, ta cộng các tử thức và giữ nguyên mẫu thức:

$\frac{A}{M}+\frac{B}{M}=\frac{A+B}{M}$.

Chú ý: Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng. Ta thường viết tổng này dưới dạng rút gọn.

3.2. Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau

Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

3.3. Tính chất của phép cộng phân thức

Giống như phép cộng phân số, phép cộng phân thức cũng có các tính chất sau: giao hoán, kết hợp, cộng với 0.

4. Phép trừ các phân thức đại số

4.1. Quy tắc trừ hai phân thức

- Muốn trừ hai phân thức cùng mẫu, ta trừ tử của hân thức bị trù cho tử của phân thức trừ và giữ nguyên mẫu:

$\frac{A}{M}-\frac{B}{M}=\frac{A-B}{M}$.

- Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được.

Chú ý: Kết quả của phép trừ hai phân thức được gọi là hiệu. Ta thường viết hiệu này dưới dạng rút gọn.

4.2. Phân thức đối

- Phân thức đối của phân thức $\frac{A}{B}$ kí hiệu là $-\frac{A}{B}$. Ta có $\frac{A}{B}+\left(-\frac{A}{B}\right)=0$.

- Ta có: $-\frac{A}{B}=\frac{-A}{B}=\frac{A}{-B}$.

- Phân thức đối của phân $-\frac{A}{B}$ là $\frac{A}{B}$, tức là $-\left(-\frac{A}{B}\right)=\frac{A}{B}$.

- Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$, ta có thể cộng $\frac{A}{B}$ với phân thức đối của phân thức $\frac{C}{D}$, tức là $\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\left(-\frac{C}{D}\right)$.

5. Phép nhân các phân thức đại số

5.1. Quy tắc nhân hai phân thức đại số

Muốn nhân hai phân thức đại số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau:

$\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{A.C}{B.D}$.

Chú ý: Kết quả phép nhân hai phân thức được gọi là tích. Ta thường viết tích này dưới dạng rút gọn.

5.2. Tính chất của phép nhân phân thức

- Giao hoán: $\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{C}{D}.\frac{A}{B};$

- Kết hợp: $\left(\frac{A}{B}.\frac{C}{D}\right).\frac{M}{N}=\frac{A}{B}.\left(\frac{C}{D}.\frac{M}{N}\right);$

- Phân phối đối với phép cộng: $\frac{A}{B}.\left(\frac{C}{D}+\frac{M}{N}\right)=\frac{A}{B}.\frac{C}{D}+\frac{A}{B}.\frac{M}{N}$;

- Nhân với số 1: $\frac{A}{B}.1=1.\frac{A}{B}=\frac{A}{B}$.

6. Phép chia các phân thức đại số

6.1. Phân thức nghịch đảo

Phân thức $\frac{B}{A}$ được gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{A}{B}$ với A, B là các đa thức khác 0.

6.2. Phép chia phân thức đại số

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác 0, ta nhân $\frac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}$.

$\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{A}{B}.\frac{D}{C}$ với $\frac{C}{D}$ khác 0.

B. Bài tập tự Chương 2: Phân thức đại số

Bài 1. Rút gọn phân thức sau:

a) $\frac{36x{y}^2}{16x^2{y}^3}$;

b) $\frac{6x-3y}{4x^2-y}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{36x{y}^2}{16x^2{y}^3}=\frac{9.4x{y}^2}{14xy.4x{y}^2}=\frac{9}{4xy}$;

b) $\frac{6x-3y}{4x^2-y^2}=\frac{3\left(2x-y\right)}{\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)}=\frac{3}{\left(2x+y\right)}$.

Bài 2. Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:

a) $\frac{3}{x+2y}$ và $\frac{-1}{x-2y}$;                         

b) $\frac{2}{x+4}$ và $\frac{2}{x^2-16}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có MTC là: (x + 2y)(x – 2y) .

$\frac{3}{x+2y}=\frac{3.\left(x-2y\right)}{\left(x+2y\right)\left(x-2y\right)}=\frac{3x-6y}{x^2-4y^2}$

$\frac{-1}{x-2y}=\frac{3}{x+2y}=\frac{-1.\left(x+2y\right)}{\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)}=\frac{-x+2y}{x^2-4y^2}$

b) Ta có: x² – 16 = (x – 4)(x + 4) .

Chọn MTC là (x – 4)(x + 4).

$\frac{2}{x+4}=\frac{2\left(x-4\right)}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=\frac{2x-8}{x^2-16}$; $\frac{2}{x^2-16}$.

Bài 3. Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:

a) $\frac{2x}{5x+5}$;

b) $\frac{7x}{y^2+4}$;   

c) $\frac{x-1}{x+1}$;                

d) $\frac{x+y}{x-y}$.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{2x}{5x+5}$ là 5x + 5 ≠ 0 hay 5x ≠ −5 hay x ≠ −1 .

b) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{7x}{y^2+4}$ là: y² + 4 ≠  0 (luôn đúng vì y² + 4 > 0 với mọi y).

c) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x-1}{x+1}$ là: x + 1 ≠ 0 hay x  ≠ −1.

d) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x+y}{x-y}$ là x – y ≠ 0 hay x ≠ y.

Bài 4. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{3x+2}{2}+\frac{2x-1}{2}$;

b) $\frac{3x-2y}{x-y}+\frac{x+2y}{y-x}$;

c) $\frac{2x+1}{x^2-4}+\frac{x-1}{x-2}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{3x+2}{2}+\frac{2x-1}{2}=\frac{\left(3x+2\right)+\left(2x-1\right)}{2}$

$=\frac{3x+2+2x-1}{2}=\frac{5x+1}{2}$.

b) $\frac{3x-2y}{x-y}+\frac{x+2y}{y-x}=\frac{3x-2y}{x-y}+\left(-\frac{x+2y}{x-y}\right)$

$=\frac{3x-2y-x-2y}{x-y}=\frac{2x-4y}{x-y}$.

c) $\frac{2x+1}{x^2-4}+\frac{x-1}{x-2}$

$\begin{array}{l}=\frac{2x+1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\\ \end{array}$

$=\frac{2x+1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x^2+2x-x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

$=\frac{2x-1+x^2+2x-x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

$=\frac{x^2+3x-3}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$.

Bài 5. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+1}$;

b) $\frac{12}{x^2-9}-\frac{2}{x-3}$;

c) $\frac{1}{x-5x^2}-\frac{25x-15}{25x^2-1}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+1}=\frac{1\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{1\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

$=\frac{x+1-x+2}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$.

b) $\frac{12}{x^2-9}-\frac{2}{x-3}$

$=\frac{12}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{2\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$

$=\frac{12-2x-6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$$=\frac{-2x+6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$

$=\frac{-2\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$$=\frac{-2}{x+3}$.

c) $\frac{1}{x-5x^2}-\frac{25x-15}{25x^2-1}$

$=\frac{1}{x\left(1-5x\right)}-\left[-\frac{25x-15}{\left(1-5x\right)\left(1+5x\right)}\right]$

$=\frac{1\left(1+5x\right)}{x\left(1-5x\right)\left(1+5x\right)}+\frac{\left(25x-15\right)x}{x\left(1-5x\right)\left(1+5x\right)}$

$=\frac{1+5x+25x-15}{x\left(1-5x\right)\left(1+5x\right)}=\frac{30x-14}{x\left(1-5x\right)\left(1+5x\right)}$.

Bài 6. Sử dụng quy tắc đổi dấu thực hiện phép tính sau theo cách hợp lý:

$\frac{4x^2-3x+17}{x^3-1}+\frac{2x-1}{x^2+x+1}+\frac{6}{1-x}$

Hướng dẫn giải

$\frac{4x^2-3x+17}{x^3-1}+\frac{2x-1}{x^2+x+1}+\frac{6}{1-x}$

$=\frac{4x^2-3x+17}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{2x-1}{x^2+x+1}-\frac{6}{x-1}$

$=\frac{4x^2-3x+17}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)}{\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)}-\frac{6\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{4x^2-3x+17+2x^2-2x-x+1-6x^2-6x-6}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{-12x+12}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{-12\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{-12}{x^2+x+1}$.

Bài 7. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{2x+3}{2x-4}.\frac{x-2}{4x+6}$;

b) $\frac{xy-1}{x+3}.{\left(x+3\right)}^2$;

c) $\frac{x^3-1}{x+2}.\frac{2x+4}{x^2+x+1}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2x+3}{2x-4}.\frac{x-2}{4x+6}=\frac{2x+3}{2\left(x-2\right)}.\frac{x-2}{2\left(2x+3\right)}=\frac{1}{4}$.

b) $\frac{xy-1}{x+3}.{\left(x+3\right)}^2=\left(xy-1\right)\left(x+3\right)=x^{2}y+3xy-x-3$.

c) $\frac{x^3-1}{x+2}.\frac{2x+4}{x^2+x+1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x+2}.\frac{2\left(x+2\right)}{x^2+x+1}$

$=\frac{\left(x-1\right).2}{1}=2x-2$.

Bài 8. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{30x{y}^2}{5x}:\frac{6y}{10x}$;

b) $\frac{4-x^2}{x^2+1}:\frac{x+2}{x^2+1}$;

c) $\frac{3x-1}{2y+5}:{\left(3x-1\right)}^2$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{30x{y}^2}{5x}:\frac{6y}{10x}=\frac{30x{y}^2}{5x}.\frac{10x}{6y}$

$=\frac{6y.5xy}{5x}.\frac{5x.2}{6y}$$=\frac{6y.5xy.5x.2}{5x.6y}=10xy$.

b) $\frac{4-x^2}{x^2+1}:\frac{x+2}{x^2+1}$

$=\frac{4-x^2}{x^2+1}.\frac{x^2+1}{x+2}=\frac{-\left(x^2-4\right)}{x^2+1}.\frac{x^2+1}{x+2}$

$=\frac{-\left(x-2\right).\left(x+2\right)}{x^2+1}.\frac{x^2+1}{x+2}=-x+2$.

c) $\frac{3x-1}{2y+5}:{\left(3x-1\right)}^2=\frac{3x-1}{2y+5}.\frac{1}{{\left(3x-1\right)}^2}$

$=\frac{1}{\left(2y+5\right)\left(3x-1\right)}$.

Bài 9. Tính một cách hợp lí:

$\frac{x^2-36}{x^2+3}.\left(\frac{x^2+3}{x-6}-\frac{x^2+3}{x+6}\right)$.

Hướng dẫn giải

$\frac{x^2-36}{x^2+3}.\left(\frac{x^2+3}{x-6}-\frac{x^2+3}{x+6}\right)$

$=\frac{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}{x^2+3}.\left[\frac{\left(x^2+3\right)\left(x+6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}-\frac{\left(x^2+3\right)\left(x-6\right)}{\left(x+6\right)\left(x-6\right)}\right]$

$=\frac{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}{x^2+3}.\frac{\left(x^2+3\right)\left(x+6\right)-\left(x^2+3\right)\left(x-6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}$

$=\frac{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}{x^2+3}.\frac{\left(x^2+3\right)\left(x+6-x+6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}$

$=\frac{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}{x^2+3}.\frac{\left(x^2+3\right).12}{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}=12$.

Xem thêm các bài tóm tắt Lý thuyết Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Đa thức nhiều biến

Lý thuyết Chương 2: Phân thức đại số

Lý thuyết Chương 3: Hàm số và đồ thị

Lý thuyết Chương 4: Hình học trực quan

Lý thuyết Chương 5: Tam giác. Tứ giác

Lý thuyết Chương 6: Một số yếu tố thống kê và xác suất