Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Phương pháp ép tích bằng ẩn phụ, tài liệu bao gồm 39 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Phương pháp ép tích bằng ẩn phụ

A. Ép tích bằng đặt ẩn phụ hoàn toàn

I. Đặt vấn đề:

Phương pháp ép tích bằng đặt ẩn phụ hoàn toàn là phương pháp dùng để nhóm các biểu thức chứa căn thành dạng tích thông qua việc giản ước các căn thức bằng cách đặt ẩn phụ.

Trong mục này, chúng ta sẽ ưu tiên các phương pháp đặt ẩn phụ và biến đổi để rèn luyện tư duy ẩn phụ và biến đổi tương đương.

II. Các phương pháp cơ bản của đặt ẩn phụ hoàn toàn ép tích:

- Đặt một ẩn phụ kết hợp nhóm nhân tử.

- Đặt hai ẩn phụ kết hợp nhóm nhân tử.

- Đặt từ 3 ẩn phụ trở lên kết hợp nhóm nhân tử.

- Đặt một ẩn phụ đưa về hệ kết nối hai phương trình.

- Đặt hai ẩn phụ đưa về hệ kết nối hai phương trình.

III. Bài tập áp dụng:

Bài 1: Giải phương trình: \(2{x^2} + x + 1 = 7(x - 1)\sqrt {x - 1} \)

Cách 1: Đặt một ẩn phụ và nâng lũy thừa:

Điều kiện xác định: \(x \ge 1\).

Đặt \(t = \sqrt {x - 1}  \Rightarrow x = {t^2} + 1,t \ge 0\).

Khi đó ta có:

\(2{x^2} + x + 1 = 7(x - 1)\sqrt {x - 1}  \Leftrightarrow 2{\left( {{t^2} + 1} \right)^2} + {t^2} + 2 - 7{t^3} = 0\) \( \Leftrightarrow 2{t^4} - 7{t^3} + 5{t^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {2{t^2} + t + 1} \right){(t - 2)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2{{\sqrt {x - 1} }^2} + \sqrt {x - 1}  + 1} \right){(\sqrt {x - 1}  - 2)^2} = 0\)

\( \Rightarrow \left( {8{x^2} - 7xy - 17x + 7y + 25} \right) - \left( {{y^2} - 16x + 6y + 25} \right) = 0\)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (2x - 2 + \sqrt {x - 1}  + 1){(\sqrt {x - 1}  - 2)^2} = 0\\ \Leftrightarrow (2x - 1 + \sqrt {x - 1} ){(\sqrt {x - 1}  - 2)^2} = 0\end{array}\)

Vì \(2x - 1 + \sqrt {x - 1}  > 0\forall x \ge 1\) do đó \(\sqrt {x - 1}  = 2 \Leftrightarrow x = 5\).

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 5\).

Cách 2: Đặt một ẩn phụ đưa về hệ kết nối hai phưong trình:

Điều kiện: \(x \ge 1\).

Xét phương trình \(2{x^2} + x + 1 = 7(x - 1)\sqrt {x - 1} \)

Đặt \(y = 4\sqrt {x - 1}  - 3\). Khi đó ta có hệ phương trình :

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} + x + 1 = \frac{{7(x - 1)(y + 3)}}{4}}\\{{{(y + 3)}^2} = 16(x - 1)}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8{x^2} - 7xy - 17x + 7y + 25 = 0}\\{{y^2} - 16x + 6y + 25 = 0}\end{array}} \right.\]

Trừ hai vế của hai phương trình trong hệ ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8{x^2} - 7xy - 17x + 7y + 25 = 0}\\{{y^2} - 16x + 6y + 25 = 0}\end{array}} \right.\)

$\Rightarrow \left(8x^2-7xy-17x+7y+25\right)-\left(y^2-16x+6y+25\right)=0$

\( \Leftrightarrow (8x + y - 1)(x - y) = 0 \Leftrightarrow (8x + 4\sqrt {x - 1}  - 3 - 1)(x - 4\sqrt {x - 1}  + 3) = 0\)

\( \Leftrightarrow ( - \sqrt {x - 1}  - 2x + 1)(4\sqrt {x - 1}  - x - 3) = 0\)

Vói \(x \ge 1\) ta có \(\sqrt {x - 1}  + 2x - 1 \ge 1 > 0\).

Do đó : \(( - \sqrt {x - 1}  - 2x + 1)(4\sqrt {x - 1}  - x - 3) = 0 \Leftrightarrow 4\sqrt {x - 1}  - x - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow 16(x - 1) = {(x + 3)^2} \Leftrightarrow {(x - 5)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 5\)

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 5\).

Bài 2: Giải phương trình: \({x^2} - x - 2 = \sqrt {3 - x}  + \sqrt x \)

Phân tích

Ẩn phụ cân đặt: \(t = \sqrt x  \ge 0\)

Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng:

\({t^4} - {t^2} - t - 2 - \sqrt {3 - {t^2}}  = 0\)

Nhân tử liên hợp cần tìm: \(\left( {t - 1 - \sqrt {3 - {t^2}} } \right)\)

Để đưa ra được nhân tử trên cân chú ý liên hợp ngược:

\(\left( {t - 1 - \sqrt {3 - {t^2}} } \right)\left( {t - 1 + \sqrt {3 - {t^2}} } \right) = 2{t^2} - 2t - 2\)

Bài giải

Đạt một ẩn phụ và nhóm nhân tư:

Điều kiện: \(0 \le x \le 3\). Đặt \(t = \sqrt x  \ge 0\).

Khi đó: \({x^2} - x - 2 = \sqrt {3 - x}  + \sqrt x  \Leftrightarrow {t^4} - {t^2} - t - 2 - \sqrt {3 - {t^2}}  = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{t^4} - {t^2} - 2t - 1} \right) + \left( {t - 1 - \sqrt {3 - {t^2}} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{t^2} - t - 1} \right)\left( {{t^2} + t + 1} \right) + \left( {t - 1 - \sqrt {3 - {t^2}} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {2{t^2} - 2t - 2} \right)\left( {{t^2} + t + 1} \right) + \left( {t - 1 - \sqrt {3 - {t^2}} } \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {t - 1 - \sqrt {3 - {t^2}} } \right)\left( {t - 1 + \sqrt {3 - {t^2}} } \right)\left( {{t^2} + t + 1} \right) + \left( {t - 1 - \sqrt {3 - {t^2}} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {t - 1 - \sqrt {3 - {t^2}} } \right)\left( {\left( {t - 1 + \sqrt {3 - {t^2}} } \right)\left( {{t^2} + t + 1} \right) + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {t - 1 - \sqrt {3 - {t^2}} } \right)\left( {{t^3} - 1 + \left( {{t^2} + t + 1} \right)\sqrt {3 - {t^2}}  + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {t - 1 - \sqrt {3 - {t^2}} } \right)\left( {{t^3} + 1 + \left( {{t^2} + t + 1} \right)\sqrt {3 - {t^2}} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sqrt x  - 1 - \sqrt {3 - x} )(x\sqrt x  + 1 + (x + \sqrt x  + 1)\sqrt {3 - x} ) = 0\)

Vì \(x\sqrt x  + 1 + (x + \sqrt x  + 1)\sqrt {3 - x}  > 0\forall 0 \le x \le 3\)

do đó \(\sqrt x  - 1 - \sqrt {3 - x}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x  = 1 + \sqrt {3 - x}  \Leftrightarrow x = 4 - x + 2\sqrt {3 - x}  \Leftrightarrow x - 2 = \sqrt {3 - x} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 2}\\{{{(x - 2)}^2} = 3 - x}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 2}\\{{x^2} - 3x + 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right.} \right.\)

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\).

Bài 3: Giải phương trình: \(20{x^2} + 14x + 9 - (14x + 11)\sqrt {2{x^2} + 1}  = 0\)

Đặt một ẩn phụ đưa về hệ phương trình:

Điều kiện xác định: \(x \in \mathbb{R}\).

Đặt \(y = \frac{{3\sqrt {2{x^2} + 1}  - 1}}{4}\) ta được hệ phương trình :

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{20{x^2} + 14x + 9 = (14x + 11)(\frac{4}{3}y + \frac{1}{3})}\\{{{(4y + 1)}^2} = 9(2{x^2} + 1)}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{60{x^2} - 56xy + 28x - 44y + 16 = 0}\\{18{x^2} - 16{y^2} - 8y + 8 = 0}\end{array}} \right.\]

Trừ hai vế của hai phương trình cho nhau ta được:

\(\begin{array}{l}24{x^2} - 56xy + 32{y^2} + 28x - 28y = 0 \Leftrightarrow 4(x - y)(6x - 8y + 7) = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {x - \frac{{3\sqrt {2{x^2} + 1}  - 1}}{4}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{l}}{6x - 8\frac{{3\sqrt {2{x^2} + 1}  - 1}}{4} + 7}\end{array}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3\sqrt {2{x^2} + 1}  - 4x - 1} \right)\left( {2\sqrt {2{x^2} + 1}  - 2x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3\sqrt {2{x^2} + 1}  = 4x + 1}\\{2\sqrt {2{x^2} + 1}  = 2x + 3}\end{array}} \right.\end{array}\)

Trường hợp 1:

\(3\sqrt {2{x^2} + 1}  = 4x + 1 \Rightarrow 9\left( {2{x^2} + 1} \right) = {(4x + 1)^2} \Rightarrow x = 2\)

Trường hợp 2:

 \(\begin{array}{l}2\sqrt {2{x^2} + 1}  = 2x + 3 \Rightarrow 4\left( {2{x^2} + 1} \right) = {(2x + 3)^2}\\ \Rightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt {14} }}{2}\end{array}\)

Kết luận: Phương trình có ba nghiệm phân biệt \(x = 2,x = \frac{{3 \pm \sqrt {14} }}{2}\).

Bài 4: Giải phương trình:

\(2x + 4 + 2\sqrt {{x^2} - 1}  - (2x - 3)\sqrt {x - 1}  - (2x + 3)\sqrt {x + 1}  = 0\)

Đặt hai ẩn phụ đưa về hệ phuơng trình:

Điêu kiện xác định: \(x \in [1, + \infty )\).

Đặt \(a = \sqrt {x - 1} \) và \(b = \sqrt {x + 1} \) ta được:

Ta có: \(2x + 4 + 2\sqrt {{x^2} - 1}  - (2x - 3)\sqrt {x - 1}  - (2x + 3)\sqrt {x + 1}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} - {b^2} + 2 = 0}\\{2{a^3} + 2{b^3} - {a^2} - 2ab - {b^2} - a + b - 4 = 0}\end{array}} \right.\)

Trừ hai vế của hai phương trình ta được:

\(\left( {2{a^3} + 2{b^3} - {a^2} - 2ab - {b^2} - a + b - 4} \right) - \left( {{a^2} - {b^2} + 2} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{a^3} - 2{a^2} - (2b + 1)a + \left( {2{b^3} + b - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow (b + a)(a - 3b + 4)(a - 3b - 2) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow (\sqrt {x + 1}  + \sqrt {x - 1} )(3\sqrt {x + 1}  + 2 - \sqrt {x - 1} )(3\sqrt {x + 1}  - \sqrt {x - 1}  - 4) = 0\)

Vì \(x \ge 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {x - 1}  > 0}\\{3\sqrt {x + 1}  + 2 - \sqrt {x - 1}  > \sqrt {x + 1}  - \sqrt {x - 1}  = \frac{2}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {x - 1} }} > 0}\end{array}} \right.\)

Do đó \(3\sqrt {x + 1}  - \sqrt {x - 1}  - 4 = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {x + 1}  = \sqrt {x - 1}  + 4\)

\( \Leftrightarrow 9(x + 1) = {(\sqrt {x - 1}  + 4)^2} \Leftrightarrow 8x - 6 = 8\sqrt {x - 1}  \Leftrightarrow {(8x - 6)^2} = 64(x - 1)\)

\( \Leftrightarrow 2{(2\sqrt {x - 1}  - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1}  = 1 \Leftrightarrow x = \frac{5}{4}\)

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{5}{4}\).

Bài 5: Giải bất phương trình: \({x^3} + 3{x^2} + x + 2 \ge 2{x^2}\sqrt {x + 4}  + \sqrt {2x + 11} \)

Phân tích

Ẩn phụ cần đặt: \(t = \sqrt {x + 4}  > 1\)

Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, bất phương trình có dạng:

\({t^6} - 2{t^5} - 9{t^4} + 16{t^3} + 25{t^2} - 32t - 18 - \sqrt {2{t^2} + 3}  \ge 0\)

Nhân tử liên hợp cần tìm: \(\left( {2t - 1 - \sqrt {2{t^2} + 3} } \right)\)

Để đưa ra được nhân tử trên cân chú ý liên hợp ngược:

\(\left( {2t - 1 - \sqrt {2{t^2} + 3} } \right)\left( {2t - 1 + \sqrt {2{t^2} + 3} } \right) = 2{t^2} - 4t - 2\)

Điêu kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge  - 4}\\{{x^3} + 3{x^2} + x \ge  - 2 >  - 3}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge  - 4}\\{(x + 3)\left( {{x^2} + 1} \right) > 0}\end{array} \Rightarrow x >  - 3} \right.} \right.\)

Đặt \(t = \sqrt {x + 4}  > 1\), ta đưa bât phương trình trở thành:

\({\left( {{t^2} - 4} \right)^3} + 3{\left( {{t^2} - 4} \right)^2} + \left( {{t^2} - 4} \right) + 2 \ge 2{\left( {{t^2} - 4} \right)^2}t + \sqrt {2\left( {{t^2} - 4} \right) + 11} \)

\( \Leftrightarrow \left( {{t^6} - 12{t^4} + 48{t^2} - 64} \right) + \left( {3{t^4} - 24{t^2} + 48} \right) + {t^2} - 2 \ge 2{t^5} - 16{t^3} + 32t + \sqrt {2{t^2} + 3} \)

\( \Leftrightarrow {t^6} - 2{t^5} - 9{t^4} + 16{t^3} + 25{t^2} - 32t - 18 - \sqrt {2{t^2} + 3}  \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{t^6} - 2{t^5} - 9{t^4} + 16{t^3} + 25{t^2} - 34t - 17} \right) + \left( {2t - 1 - \sqrt {2{t^2} + 3} } \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{t^4} - 8{t^2} + 17} \right)\left( {{t^2} - 2t - 1} \right) + \left( {2x - 1 - \sqrt {2{t^2} + 3} } \right) \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {{t^4} - 8{t^2} + 17} \right)\left( {2t - 1 - \sqrt {2{t^2} + 3} } \right)\left( {2t - 1 + \sqrt {2{t^2} + 3} } \right) + \left( {2t - 1 - \sqrt {2{t^2} + 3} } \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {2t - 1 - \sqrt {2{t^2} + 3} } \right)\left( {\frac{1}{2}\left( {{t^4} - 8{t^2} + 17} \right)\left( {2t - 1 + \sqrt {2{t^2} + 3} } \right) + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow (2\sqrt {x + 4}  - 1 - \sqrt {2x + 11} )\left( {\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)(2\sqrt {x + 4}  - 1 + \sqrt {2x + 11} )}}{2} + 1} \right) \ge 0\end{array}\)

\({\mathop{\rm Vi}\nolimits} \left( {{x^2} + 1} \right)(2\sqrt {x + 4}  - 1 + \sqrt {2x + 11} ) > \sqrt {x + 4}  - 1 = \frac{{x + 3}}{{2(\sqrt {x + 4}  + 1)}} > 0\forall x >  - 3\)

Do đó \(\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)(2\sqrt {x + 4}  - 1 + \sqrt {2x + 11} )}}{2} + 1 > 0\forall x >  - 3\).

Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\sqrt {x + 4}  > 1 + \sqrt {2x + 11} }\\{x >  - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4(x + 4) > 12 + 2x + 2\sqrt {2x + 11} }\\{x >  - 3}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2 > \sqrt {2x + 11} }\\{x >  - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2x - 7 > 0}\\{x >  - 2}\end{array} \Leftrightarrow x >  - 1 + 2\sqrt 2 .} \right.} \right.\)

Kết luận: Bất phương trình có tập nghiệm \(x \in [ - 1 + 2\sqrt 2 ; + \infty )\).