Bài giảng về bất đẳng thức toán học

Gia Bảo Ngày: 08-03-2024 Lớp 10

Tải xuống 84 726 10

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu bài tập Bài giảng về bất đẳng thức toán học có đáp án, tài liệu bao gồm 84 trang, tuyển chọn tổng hợp đầy đủ lý thuyết và bài tập trắc nghiệm Bài giảng về bất đẳng thức toán học (có đáp án và lời giải chi tiết), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho bài thi môn Toán lớp 10. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

undefined (ảnh 1)

BÀI GIẢNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TOÁN HỌC
BÀI GIẢNG 1: ỨNG DỤNG CỦA MỘT BĐT ĐƠN GIẢN

Chứng minh BĐT luôn là những bài toán hấp dẫn. Với bài viết này chúng ta sẽ khám phá
một số bài BĐT hay và khó nhờ một BĐT đơn giản trong chương trình toán THCS.
Bài toán xuất phát: Cho a, b là hai số bất kì và x, y là hai số dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{x + y} (*)$

Chứng minh: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$a^{2} y (x + y) + b^{2} x (x + y) \geq {(a + b)}^{2} x y \Leftrightarrow a^{2} y^{2} + b^{2} x^{2} \geq 2 a b x y \Leftrightarrow {(a y - b x)}^{2} \geq 0$
BĐT sau cùng hiển nhiên đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$
Sử dụng BĐT (*) hai lần, ta được $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} + \frac{c^{2}}{z} \geq \frac{{(a + b + c)}^{2}}{x + y + z} (* *)$
với ba số a, b, c và ba số dương x, y, z bất kì. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$
Bây giờ, ta sẽ áp dụng hai BĐT trên để chững minh một số bài toán sau.
Bài toán 1. Cho hai số a, b, c bất kì. Chứng minh rằng $a^{4} + b^{4} \geq \frac{{(a + b)}^{4}}{8}$
Chứng minh. Sử dụng BĐT (*) hai lần ta có :
$a^{4} + b^{4} = \frac{a^{4}}{1} + \frac{b^{4}}{1} \geq \frac{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}{2} = \frac{1}{2} (\frac{a^{2}}{1} + \frac{b^{2}}{1}) \geq \frac{1}{2} {(\frac{{(a + b)}^{2}}{2})}^{2} = \frac{{(a + b)}^{4}}{8}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Bài toán 2. Cho c{c số dương x, y, z thỏa mãn $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4$ Chứng minh rằng:
$\frac{1}{2 x + y + z} + \frac{1}{x + 2 y + z} + \frac{1}{x + y + 2 z} \leq 1$ Chứng minh: Sử dụng BĐT (*) hai lần, ta có: