Giá trị lớn nhất của biết thức F(x; y) = x + 2y với điều kiện $\left\{\begin{array}{c}0\le y\le 4\\ x\ge 0\\ x-y-1\le 0\\ x+2y-10\le 0\end{array}\right.$ là

Đáp án đúng là: C

Vẽ đường thẳng d1: x – y – 1 = 0, đường thẳng d1 qua hai điểm (0; – 1) và (1; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 0 – 1= – 1 < 0. Thoả mãn bất phương trình x – y – 1 ≤ 0. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D1 là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d1 chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d2: x + 2y – 10 = 0, đường thẳng d2 qua hai điểm (0; 5) và (10; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 2.0 – 10 = – 10 < 0. Thoả mãn bất phương trình x + 2y – 10 ≤ 0. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D2 là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d2 chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d3: y = 4.

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 < 4. Thoả mãn bất phương trình 0 ≤ y ≤ 4. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D3 là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d3 chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

x$\ge$0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).

y$\ge$0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía trên trục hoành (kể cả trục hoành).

Miền nghiệm là phần không bị gạch như hình vẽ.

Miền nghiệm là ngũ giác ABCOE với A(4; 3), B(2; 4), C(0; 4), O(0; 0), E(1; 0).

Nhận thấy biểu thức F(x; y) = x + 2y chỉ đạt giá trị lớn nhất tại các điểm A, B, C, O; E.

F(x; y) = x + 2y suy ra F(4; 3) = 4 + 2.3 = 10;

F(x; y) = x + 2y suy ra F(0; 4) = 0 + 2.4 = 8;

F(x; y) = x + 2y suy ra F(2; 4) = 2 + 2.4 = 10;

F(x; y) = x + 2y suy ra F(1; 0) = 1 + 2.0 = 1;

F(x; y) = x + 2y suy ra F(0; 0) = 0 + 2.0 = 0.

Vậy giá trị lớn nhất của biết thức F(x; y) = x + 2y bằng 10.

 Phương pháp giải:

Nhiều bài toán thực tế được đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức $F=ax+by$ trên một miền đa giác – miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Người ta chứng minh được F đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của đa giác.

+ Các bước giải

Bước 1: Đặt ẩn (hai ẩn x, y), từ giả thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bước 2: Xác định miền đa giác nghiệm và tọa độ đỉnh của đa giác đó.

Bước 3: Tính gía trị cuả F tại các đỉnh của đa giác. So sánh các giá trị thu được.

Bước 4: Kết luận.

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Trắc nghiệm Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Chân trời sáng tạo) có đáp án – Toán lớp 10

Lý thuyết Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Chân trời sáng tạo) hay, chi tiết | Toán lớp 10