Biểu thức F = y – x đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện $\left\{\begin{array}{c}-2x+y\le -2\\ x-2y\le 2\\ x+y\le 5\\ x\ge 0\end{array}\right.$tại điểm có toạ độ là

Đáp án đúng là: A

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}-2x+y\le -2\\ x-2y\le 2\\ x+y\le 5\\ x\ge 0\end{array}\right.$ trên hệ trục tọa độ

Ta vẽ đường thẳng d1: – 2x + y = – 2, đường thẳng d1 đi qua hai điểm (0; – 2) và (1; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có – 2.0 + 0 = 0 > – 2, điểm O(0; 0) không thoả mãn bất phương trình – 2x + y ≤ – 2, vậy điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d1 và không chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

Ta vẽ đường thẳng d2: x – 2y = 2, đường thẳng d2 đi qua hai điểm (0; – 1) và (2; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 2.0 = 0 < 2, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình x – 2y ≤ 2, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d2 và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

Ta vẽ đường thẳng d3: x + y = 5, đường thẳng d3 đi qua hai điểm (0; 5) và (5; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 = 0 < 5, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình x + y ≤ 5, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d3 và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

Miền nghiệm là phần không bị gạch trong hình dưới đây (kể cả bờ).

Nhận thấy biểu thức F = y – x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B hoặc C, với $A\left(\frac{2}{3};-\frac{2}{3}\right)$, $B\left(\frac{7}{3};\frac{8}{3}\right)$, C(4;1).

Ta có

F(x; y) = y – x suy ra F$\left(\frac{2}{3};-\frac{2}{3}\right)$ = $-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$ ,

F(x; y) = y – x suy ra F$\left(\frac{7}{3};\frac{8}{3}\right)$= $\frac{8}{3}-\frac{7}{3}=\frac{1}{3}$,

F(x; y) = y – x suy ra F(4;1).= 1 – 4 = – 3.

Vậy F = y – x đạt giá trị nhỏ nhất bằng – 3 tại điểm có toạ độ (4; 1).

Phương pháp giải:

Nhiều bài toán thực tế được đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức $F=ax+by$ trên một miền đa giác – miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Người ta chứng minh được F đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của đa giác.

+ Các bước giải

Bước 1: Đặt ẩn (hai ẩn x, y), từ giả thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bước 2: Xác định miền đa giác nghiệm và tọa độ đỉnh của đa giác đó.

Bước 3: Tính gía trị cuả F tại các đỉnh của đa giác. So sánh các giá trị thu được.

Bước 4: Kết luận.

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Lý thuyết Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Kết nối tri thức) hay, chi tiết | Toán lớp 10

Trắc nghiệm Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Kết nối tri thức) có đáp án – Toán lớp 10