Biểu thức P = y – x, với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+3y-6\le 0\\ x\ge 0\\ 2x-3y-1\le 0\end{array}\right.$ đạt giá trị lớn nhất là a và đạt giá trị nhỏ nhất là b. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

Đáp án đúng là: B

Ta vẽ đường thẳng d₁: 2x + 3y – 6 = 0, đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; 2) và (3; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 3.0 – 6 = - 6 < 0, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình 2x + 3y – 6 ≤ 0, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d₁ và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

Ta vẽ đường thẳng d₂: 2x – 3y – 1 = 0, đường thẳng d₂ đi qua hai điểm $\left(0;-\frac{1}{3}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};0\right)$ 

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 – 3.0 – 1 = - 1 < 0, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình 2x – 3y – 1 ≤ 0, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d₂ và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

x$\ge$0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).

Miền nghiệm là phần không bị gạch trong hình dưới đây (kể cả bờ).

Miền nghiệm là hình tam giác ABC (kể cả biên), với A(0; 2);$B\left(\frac{7}{4};\frac{5}{6}\right)$, $C\left(0;-\frac{1}{3}\right)$.

Ta có

P(x; y) = y – x suy ra P(0; 2) = 2 – 0 = 2;

P(x; y) = y – x suy ra P$\left(\frac{7}{4};\frac{5}{6}\right)$ = $\frac{5}{6}-\frac{7}{4}=-\frac{11}{12}$ ,

P(x; y) = y – x suy ra P$\left(0;-\frac{1}{3}\right)$ = $-\frac{1}{3}-0=-\frac{1}{3}$

Vậy giá trị lớn nhất của P là a = 2 và giá trị nhỏ nhất của P là $b=-\frac{11}{12}$.

Phương pháp giải:

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng: $ax+by+c<0,ax+by+c>0,ax+by+c\le 0,ax+by+c\ge 0$ trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số. 

- Để xác định miền nghiệm của bất phương trình $ax+by+c\le 0$, ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình như sau: 

Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng d: $ax+by+c =0$ 

Bước 2: Lấy điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ không thuộc d. 

Bước 3: Tính $a{x}_0+b{y}_0+c$ và so sánh $a{x}_0+b{y}_0+c$ với 0.

Bước 4: Kết luận:

Nếu $a{x}_0+b{y}_0+c<0$  thì nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình $ax+by+c\le 0$ . 

Nếu $a{x}_0+b{y}_0+c>0$ thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình $ax+by+c\le 0$ . 

Xem thêm một số kiến thức liên quan:

Lý thuyết Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Cánh diều) hay, chi tiết | Toán lớp 10

20 câu Trắc nghiệm Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Chân trời sáng tạo) có đáp án – Toán lớp 10