Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=|3x^4-4x^3-12x^2+m|$ có 5 điểm cực trị.

Tập xác định:$D=ℝ.$

Ta có đạo hàm của $\left(\left|f\left(x\right)\right|\right)\text{'}=\left(\sqrt{f^2\left(x\right)}\right)\text{'}=\frac{2f\left(x\right).f\text{'}\left(x\right)}{2\sqrt{f^2\left(x\right)}}=\frac{f\left(x\right).f\text{'}\left(x\right)}{\left|f\left(x\right)\right|},$  

Đạo hàm $y\text{'}=\frac{(12x^3-12x^2-24x)(3x^4-4x^3-12x^2+m)}{|3x^4-4x^3-12x^2+m|}$ , 

Xét phương trình$(12x^3-12x^2-24x)(3x^4-4x^3-12x^2+m)=0$

Xét hàm số $g\left(x\right)=3x^4-4x^3-12x^2$  trên R và $g\text{'}\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=-1\\ x=2\end{array}.$

 Bảng biến thiên của $g\left(x\right)$  như sau:

 

Hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm bội lẻ của  và số điểm tới hạn của  là 5, do đó ta cần có các trường hợp sau

 

TH1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1; 0; 2$\iff [\begin{array}{l}-m>0\\ -32<-m<-5\end{array}\iff [\begin{array}{l}m<0\\ 5<m<32\end{array},$  trường hợp này có 26 số nguyên dương.

TH2: Phương trình (*) có 3 nghiệm trong đó có một nghiệm kép trùng với một trong các nghiệm $-1;0;2\iff [\begin{array}{l}-m=0\\ -m=-5\end{array}\iff [\begin{array}{l}m=0\\ m=5\end{array},$  trường hợp này có một số nguyên dương.

Vậy có tất cả là 27 số nguyên dương thỏa mãn bài toán.

Đáp án C

Phương pháp giải:

Ta có: $y=\left|f\left(x\right)\right|\Rightarrow y^{\prime }=\frac{f^{\prime }\left(x\right).f\left(x\right)}{\left|f\left(x\right)\right|}$ do đó

Số điểm cực trị của hàm số $y=\left|f\left(x\right)\right|$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $f^{\prime }\left(x\right).f\left(x\right)=0.$

Như vậy: Nếu gọi m là số điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)$và n là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$và trục hoành thì $m+n$ là số điểm cực trị của hàm số $y=\left|f\left(x\right)\right|$ (chú ý ta cần bỏ đi các nghiệm bội chẵn).

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Bộ 20 Đề thi Toán 12 Giữa kì 2

Bộ 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022-2023