Chứng minh các bất đẳng thức: x^2 +y^2 lớn hơn hoặc bằng (x+y)^2/2...

Question

Chứng minh các bất đẳng thức: x2+y2≥(x+y)22≥2xy

VietJack · Accepted Answer

Phương pháp giải

Sử dụng biến đổi tương đương

Một số kĩ thuật cơ bản:

+ Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức

+ Kỹ thuật sử dụng các hằng đẳng thức

+ Kỹ thuật thêm bớt một hằng số, một biểu thức

+ Kỹ thuật đặt biến phụ

+ Kỹ thuật sắp thứ tự các biến.

+ Kỹ thuật khai thác tính bị chặn của các biến

Bài tập liên quan:

Chứng minh các bất đẳng thức: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$ với a>0, b>0

Cách giải:

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Một số kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức hay nhất

Phương pháp đổi biến trong chứng minh bất đẳng thức

Hệ thống lý thuyết và bài tập về Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng - Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân chọn lọc

50 Bài tập Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng - Toán 8

Câu hỏi:

Chứng minh các bất đẳng thức: $x^{2} + y^{2} \geq \frac{(x + y)^{2}}{2} \geq 2 x y$

Trả lời:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh các bất đẳng thức: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$ với a>0, b>0

Câu 2:

Chứng minh bất đẳng thức: $a^{4} + b^{4} \geq a b (a^{2} + b^{2})$

Câu 3:

Cho a và b cùng dấu. Chứng minh rằng: Nếu a>b thì $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

Câu 4:

Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{x - x^{2} + 1}{x - x^{2} - 1} < 1$

Câu 5:

Chứng minh bất đẳng thức: $3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq (a + b + c)^{2} \geq 3 (a b + b c + c a)$

Câu 6:

Chứng minh bất đẳng thức: $a^{3} + b^{3} \geq a b (a + b)$ với a,b>0

Câu 7:

Gọi $\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ là trung bình điều hòa của a và b. Chứng minh rằng trung bình điều hòa của hai số dương a và b nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của hai số ấy.

Câu 8:

Cho a và b cùng dấu. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$

Câu 9:

Chứng minh bất đẳng thức: $(a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) \geq (a x + b y)^{2}$
(bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với hai cặp số a, b và x, y)

Câu 10:

Chứng minh bất đẳng thức: $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq (a x + b y + c z)^{2}$
(bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với hai bộ ba số a, b và x, y)

Câu 11:

Rút gọn rồi chứng minh rằng biểu thức sau không âm với mọi giá trị của x: $\frac{x^{4} + x^{3} + x + 1}{x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - x + 1}$

Câu 12:

Chứng minh bất đẳng thức: $x^{2} - x + 1 > 0$

Câu 13:

Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Câu 14:

Chứng minh bất đẳng thức: $2 (a^{2} + b^{2}) \geq (a + b)^{2}$

Đề thi liên quan

Câu hỏi mới nhất

Câu hỏi:

Chứng minh các bất đẳng thức: x2+y2≥(x+y)22≥2xy

Trả lời:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh các bất đẳng thức: 1a+ 1b≥4a+b với a>0, b>0

Câu 2:

Chứng minh bất đẳng thức: a4+b4 ≥ab(a2+b2)

Câu 3:

Cho a và b cùng dấu. Chứng minh rằng: Nếu a>b thì 1a<1b

Câu 4:

Chứng minh bất đẳng thức: x-x2+1x-x2-1<1

Câu 5:

Chứng minh bất đẳng thức: 3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)

Câu 6:

Chứng minh bất đẳng thức: a3+b3≥ab(a+b) với a,b>0

Câu 7:

Gọi 21a+1b là trung bình điều hòa của a và b. Chứng minh rằng trung bình điều hòa của hai số dương a và b nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của hai số ấy.

Câu 8:

Cho a và b cùng dấu. Chứng minh rằng: ab+ba≥2

Câu 9:

Chứng minh bất đẳng thức: (a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2(bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với hai cặp số a, b và x, y)

Câu 10:

Chứng minh bất đẳng thức: (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2(bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với hai bộ ba số a, b và x, y)

Câu 11:

Rút gọn rồi chứng minh rằng biểu thức sau không âm với mọi giá trị của x: x4+x3+x+1x4-x3+2x2-x+1

Câu 12:

Chứng minh bất đẳng thức: x2-x+1>0

Câu 13:

Chứng minh bất đẳng thức: a2+b22≥a+b22

Câu 14:

Chứng minh bất đẳng thức: 2(a2+b2)≥(a+b)2

Đề thi liên quan

Câu hỏi mới nhất

Chứng minh các bất đẳng thức: $x^{2} + y^{2} \geq \frac{(x + y)^{2}}{2} \geq 2 x y$

Chứng minh các bất đẳng thức: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$ với a>0, b>0

Chứng minh bất đẳng thức: $a^{4} + b^{4} \geq a b (a^{2} + b^{2})$

Cho a và b cùng dấu. Chứng minh rằng: Nếu a>b thì $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{x - x^{2} + 1}{x - x^{2} - 1} < 1$

Chứng minh bất đẳng thức: $3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq (a + b + c)^{2} \geq 3 (a b + b c + c a)$

Chứng minh bất đẳng thức: $a^{3} + b^{3} \geq a b (a + b)$ với a,b>0

Gọi $\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ là trung bình điều hòa của a và b. Chứng minh rằng trung bình điều hòa của hai số dương a và b nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của hai số ấy.

Cho a và b cùng dấu. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$

Chứng minh bất đẳng thức: $(a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) \geq (a x + b y)^{2}$
(bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với hai cặp số a, b và x, y)

Chứng minh bất đẳng thức: $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq (a x + b y + c z)^{2}$
(bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với hai bộ ba số a, b và x, y)

Rút gọn rồi chứng minh rằng biểu thức sau không âm với mọi giá trị của x: $\frac{x^{4} + x^{3} + x + 1}{x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - x + 1}$

Chứng minh bất đẳng thức: $x^{2} - x + 1 > 0$

Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Chứng minh bất đẳng thức: $2 (a^{2} + b^{2}) \geq (a + b)^{2}$