Cho tứ diện ABCD có $AB=AC=AD$  và $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}={60}^o$ . Hãy xác định góc giữa cặp vecto $\overrightarrow{AB}$   và  $\overrightarrow{CD}?$

Phương pháp giải

 

Để tính góc giữa hai đường thẳng d1; d2 trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách

Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1, d2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Từ O dựng các đường thẳng d1, d2 lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d1 và d2. Góc giữa hai đường thẳng d1, d2 chính là góc giữa hai đường thẳng d1, d2.

Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác

Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u1, u2 của hai đường thẳng d1, d2

Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi cos(d1, d2) = 

Lưu ý 2: Để tính u₁→, u₂→, |u₁→|, |u₂→| ta chọn ba vec tơ a→, b→, c→ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u1→, u2→ qua các vec tơ a→, b→, c→ rồi thực hiện các tính toán.

Đáp án D

Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$   $\begin{array}{l}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}\right)-\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)\\ =\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|.\cos {60}^o-\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos {60}^o\end{array}$Mà $AC=AD\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0\Rightarrow \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)={90}^o$

Bài tập liên quan:

Giả sử $x_o$  là nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$ . Cho hàm số $y=f\left(x\right)=Mx$  với $M=\max \left\{\left|\frac{b}{a}\right|;\left|\frac{c}{a}\right|\right\}$ . Tìm các giá trị của tham số a sao cho hàm số $g\left(x\right)=-f\left(x\right)+ax$  nghịch biến trên R.

A. $a\le \frac{x_o^2}{x_o+1}.$

B. $a\le -\frac{x_o+1}{x_o}.$

C.    $a\le \frac{x_o^2}{\left|x_o\right|+1}.$     

D. $a\le -\frac{\left|x_o\right|+1}{x_o}.$

Cách giải:

Đáp án C

Do $a\ne 0$  theo bài ra ta có $a{x}_0^2+b{x}_0+c=0\iff x_0^2=-\left(\frac{b}{a}{x}_0+\frac{c}{a}\right)$

$\Rightarrow x_o^2+-\left(\frac{b}{a}{x}_o+\frac{c}{a}\right)\le \left|-\left(\frac{b}{a}{x}_o+\frac{c}{a}\right)\right|\le \left|\frac{b}{a}{x}_o\right|+\left|\frac{c}{a}\right|\le M\left(\left|x_o\right|+1\right)\Rightarrow M\ge \frac{x_o^2}{\left|x_o\right|+1}.$

Ta có $f\left(x\right)=Mx\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=M\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=-M+a$

Hàm số g(x) nghịch biến trên R$\iff g\text{'}\left(x\right)\le \mathrm{0,}\forall x\in ℝ\iff a\le M,\forall x\in ℝ\iff a\le \frac{x_o^2}{\left|x_0\right|+1}$.

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Đề thi tham khảo Toán 2024 có đáp án

500 Đề thi thử THPT Quốc gia 2024 môn Toán (cả nước, có lời giải)