Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, các đường cao là BM và CN. Gọi O là trung điểm cạnh BC.

a, Chứng minh B, C, M, N cùng thuộc đường tròn tâm O

b, Gọi G là giao điểm của BM và CN. Chứng minh điểm G nằm trong, điểm A nằm ngoài đối với đường tròn đường kính BC

a, Ta có: $\widehat{BNC}={90}^0$ => N$\in$(O;$\frac{BC}{2}$)

$\widehat{BMC}={90}^0$ => M$\in$(O;$\frac{BC}{2}$)

=> B, C, M, N cùng thuộc đường tròn tâm (O;$\frac{BC}{2}$)

b, ∆ABC đều có G là trực tâm đồng thời là trọng tâm

∆AOB vuông tại O có R = ON = $\frac{a}{2}$

Ta có OA = $\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ > R

=> A nằm ngoài (O)

Ta có OG = $\frac{1}{3}$OA = $\frac{a\sqrt{3}}{6}$ < R

=> G nằm ngoài (O)

Phương pháp chứng minh các điểm thuộc một đường tròn:

- Cách 1: Chứng minh các điểm đó cùng cách đều một điểm O cố định. Khi đó các điểm đã cho cùng thuộc đường tròn tâm O.

- Cách 2: Sử dụng tứ giác nội tiếp. Chẳng hạn để chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh ABCD, ABCE là tứ giác nội tiếp cùng 1 đường tròn tâm O.

Bài tập liên quan:

Cho hai đường tròn (A; 6 cm) và (B; 4 cm) cắt nhau tại C và D, AB = 8 cm. Gọi K, I lần lượt là giao điểm của hai đường tròn đã cho với đoạn thẳng AB (Hình 21).

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng CA, CB, DA và DB.

b) Điểm I có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB không?

c) Tính độ dài của đoạn thẳng IK.

Cách giải:

a) Vì hai đường tròn (A; 6 cm) và (B; 4 cm) cắt nhau tại C và D nên C, D cùng nằm trên hai đường tròn (A; 6 cm) và (B; 4 cm), do đó AC = AD = 6 cm và BC = BD = 4 cm.

b) Do I là giao điểm của đường tròn (B; 4 cm) với đoạn thẳng AB nên I nằm giữa hai điểm A, B và I nằm trên đường tròn (B; 4 cm), do đó BI = 4 cm.

Vì I nằm giữa hai điểm A, B nên ta có: AI + IB = AB

Suy ra AI = AB – IB = 8 – 4 = 4 (cm).

Ta có I nằm giữa hai điểm A, B và AI = BI nên I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

c) Do K là giao điểm của đường tròn (A; 6 cm) với đoạn thẳng AB nên K nằm trên đường tròn (A; 6 cm), do đó AK = 6 cm.

Ta có AI < AK (4 cm < 6 cm) nên I nằm giữa hai điểm A, K.

Do đó AI + IK = AK

Suy ra IK = AK – AI = 6 – 4 = 2 (cm).

Vậy IK = 2 cm.

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Lý thuyết Vị trí tương đối của hai đường tròn (mới 2023 + bài tập) - Toán 9

Lý thuyết Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn (mới 2023 + bài tập) - Toán 9