Cho phương trình \(\log _3^2x - \left( {2m + 1} \right){\log _3}x + {m^2} + m = 0.\) Gọi \(S\) là tập họp các giá trị của tham số thực \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thỏa mãn \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 3} \right) = 48\). Số phần tử của tập \(S\) là

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình \(f\left( {2 - f\left( x \right)} \right) = 0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Cho hàm số \(y = - {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 3\left( {2m - 1} \right)x + 2020.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)?\) 

Cho hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x - 3}}(m\) là tham số) thỏa mãn \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = - 2.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

Cho \(x,y,z\) là ba số dương lập thành cấp số nhân; còn \({\log _a}x;{\log _{\sqrt a }}y;{\log _{\sqrt[3]{a}}}z\) lập thành cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức \(Q = \frac{{2017x}}{y} + \frac{{2y}}{z} + \frac{z}{x}.\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} + 3{x^3} - 4m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}}} \right) = {x^3} - m\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]?\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ:

Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {4\left| {\sin x} \right| + m} \right) - 3 = 0\) có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc nửa khoảng \(\left( {0;4\pi } \right].\) Tổng các phần tử của \(S\) bằng

Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh? 

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) cạnh \[a.\] Biết \(SA = SB = SC = a.\) Đặt \(SD = x\left( {0 < x < a\sqrt 3 } \right).\) Tính \(x\) theo \(a\) sao cho \(AC.SD\) đạt giá trị lớn nhất.

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA = a\sqrt 2 .\) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A,\) cạnh \(SA\) vuông góc với mặt đáy \(ABC.\) Biết \(SA = 2a,BC = 2a\sqrt 2 .\) Bán kính \(R\) của mặt dầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bằng

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} - x}}\) là 

Cho hàm số \(f\left( x \right),\) bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:

  Hàm số \(y = f\left( {1 - 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Đường thẳng \(y = x + 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}\) tại hai điểm phân biệt \(A,B.\) Khi đó độ dài \(AB\) bằng