Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'BC' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên AA' = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 30°. Thể tích của khổi lăng trụ đã cho bằng

Đáp án đúng là: A

Kẻ AH $\perp$ BC, ta có AA' $\perp$ (ABC) nên AA' $\perp$ BC

AH $\perp$ BC và AA' $\perp$ BC suy ra BC $\perp$ (AA'H) => A'H $\perp$ BC

Suy ra góc giữa (A'BC) và (ABC) là $\widehat{A\text{'}HA}$  = 30°

∆A'AH vuông tại A có

tan $\widehat{A\text{'}HA}$ = $\frac{AA\text{'}}{AH}$$\Rightarrow$  tan 30° =$\frac{2a}{AH}$$\iff$ AH =$\frac{2a}{\tan {30}^o}$ = 2a

∆ABC vuông cân tại A nên BC = 2.AH = 4a$\sqrt{3}$

=> SABC =$\frac{1}{2}$ AH.BC = $\frac{1}{2}$ 2a$\sqrt{3}$ . 4a$\sqrt{3}$ = 12a²

Vậy thể tích của khổi lăng trụ ABC. A'B'C' là: V = SABC.AA’ = 12a².2a = 24a³.

* Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Muốn chứng minh đương thẳng d ⊥ (α) ta có thể dùng môt trong hai cách sau.

Cách 1. Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a; b cắt nhau trong (α) .

Cách 2. Chứng minh d vuông góc với đường thẳng a mà a vuông góc với (α) .

Cách 3. Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

- Để chứng minh d ⊥ a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

   + Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.

   + Sử dụng định lí ba đường vuông góc.

   + Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

Bài tập liên quan:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = 2a. Góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng (ACC'A') bằng 30°. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. 3a3

B. a3

C. $12\sqrt{2}{a}^3$

D. $4\sqrt{2}{a}^3$

Cách giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\{\begin{array}{c}AB\perp AC\\ AB\perp AA\text{'}\end{array}\Rightarrow AB\perp (ACC\text{'}A\text{'})\Rightarrow AB\perp AC\text{'}$

Vậy góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng (ACC'A') là.$\widehat{BC\text{'}A}$

Trong tam giác vuông (BC'A) ta có $\widehat{BC\text{'}A}=30°;AB=2a$

$\Rightarrow AC\text{'}=AB.\cot \widehat{BC\text{'}A}=2a\sqrt{3}$

 

Trong tam giác vuông ACC' ta có .$CC\text{'}=\sqrt{AC{\text{'}}^2-A{C}^2}=2\sqrt{2}a$

 

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là:$V=CC\text{'}.\frac{1}{2}A{B}^2=2\sqrt{2}a.\frac{1}{2}.4a^2=4\sqrt{2}{a}^3.$

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Đề thi thử Toán trường THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa)

Đề thi thử Toán trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Điện Biên)