Trả lời nhanh
Với đề quen thuộc này, ta chứng minh được E là trung điểm của MN (EM = EN) và 1/AB + 1/CD = 2/MN, tức MN = 2·AB·CD/(AB + CD). Chìa khoá là định lí Ta-lét trong hai tam giác ADC, BCD và tỉ số AE/EC = BE/ED = AB/CD do AB // CD.
Đề bài ở đầu trang bị cắt ngắn. Dạng phổ biến nhất của bài này là: “Cho hình thang cân ABCD có AB // CD. Qua giao điểm E của AC và BD, ta vẽ đường thẳng song song với AB và cắt AD, BC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng: a) EM = EN; b) 1/AB + 1/CD = 2/MN.” Bên dưới là lời giải cho đề này. Nếu đề của em hỏi ý khác, các bước trung gian vẫn dùng lại được.
Vẽ hình và nhận ra dữ kiện
Ta có AB // CD và MN // AB nên MN // AB // CD. Ba đường thẳng song song này cắt hai cạnh bên AD, BC và hai đường chéo AC, BD, nên ta nghĩ ngay đến định lí Ta-lét và hệ quả.
Bước 1: Tỉ số hai đoạn của đường chéo
Vì AB // CD, hai tam giác EAB và ECD đồng dạng (góc so le trong bằng nhau). Do đó:
AE/EC = BE/ED = AB/CD.
Cộng thêm 1 vào hai vế đầu: AE/AC = AE/(AE + EC) = AB/(AB + CD). Tương tự BE/BD = AB/(AB + CD). Hai kết quả này sẽ dùng ở cả hai câu.
Câu a) Chứng minh EM = EN
- Trong tam giác ADC có EM // CD (E thuộc AC, M thuộc AD), theo hệ quả Ta-lét: EM/CD = AE/AC.
- Trong tam giác BCD có EN // CD (E thuộc BD, N thuộc BC): EN/CD = BE/BD.
- Theo bước 1, AE/AC = BE/BD = AB/(AB + CD).
Suy ra EM/CD = EN/CD, nghĩa là EM = EN. Vậy E là trung điểm của MN.
Lưu ý: kết quả này đúng cho mọi hình thang, không cần điều kiện “cân”. Tính chất cân (AC = BD, AD = BC) chỉ giúp hình vẽ đối xứng, em đừng cố dùng nó khi chứng minh.
Câu b) Chứng minh 1/AB + 1/CD = 2/MN
Từ EM/CD = AB/(AB + CD) ta có EM = AB·CD/(AB + CD). Vì E là trung điểm MN nên:
MN = 2·EM = 2·AB·CD/(AB + CD).
Lấy nghịch đảo: 1/MN = (AB + CD)/(2·AB·CD) = (1/2)·(1/AB + 1/CD). Nhân hai vế với 2:
1/AB + 1/CD = 2/MN. Nói cách khác, MN là trung bình điều hoà của hai đáy.
Kiểm tra bằng số (ví dụ tự đặt)
Giả sử AB = 6 cm, CD = 12 cm. Khi đó EM = 6·12/(6 + 12) = 4 cm, MN = 8 cm. Thử lại: 1/6 + 1/12 = 3/12 = 1/4 và 2/8 = 1/4 nên hai vế bằng nhau.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm MN là đường trung bình. MN chỉ là đường trung bình khi AB = CD (khi đó thành hình bình hành/chữ nhật), còn thông thường MN = 2·AB·CD/(AB + CD), nhỏ hơn (AB + CD)/2.
- Viết sai tỉ số: EM/CD = AE/AC, không phải AE/EC. Hãy xác định đúng tam giác chứa đoạn song song.
- Dùng “hình thang cân” để suy ra EM = EN mà không có tỉ lệ thức, khiến lập luận thiếu căn cứ.
Bài luyện tập
- Với hình thang ABCD (AB // CD), AB = 4 cm, CD = 12 cm, tính MN.
Đáp án: MN = 2·4·12/16 = 6 cm. - Giữ nguyên giả thiết đề bài, cho MN = 10 cm và AB = 15 cm. Tính CD.
Đáp án: 1/CD = 2/10 − 1/15 = 1/5 − 1/15 = 2/15 nên CD = 7,5 cm. - Chứng minh trong hình thang cân ABCD, EA = EB và EC = ED.
Gợi ý: hai tam giác ADC và BCD bằng nhau (c.c.c hoặc c.g.c) nên góc ACD = góc BDC, tam giác ECD cân tại E; từ đó dùng AE/EC = BE/ED để suy ra EA = EB.
Câu hỏi thường gặp
Hình thang cân có cần thiết để chứng minh EM = EN không?
Không. EM = EN đúng với mọi hình thang có hai đáy AB // CD, vì chỉ cần dùng định lí Ta-lét và tỉ số AE/EC = BE/ED = AB/CD.
Độ dài MN tính theo hai đáy như thế nào?
MN = 2·AB·CD/(AB + CD), tương đương 1/AB + 1/CD = 2/MN. MN là trung bình điều hoà của hai đáy.
Vì sao AE/EC = AB/CD?
Vì AB // CD nên hai tam giác EAB và ECD đồng dạng, các cạnh tương ứng tỉ lệ nên AE/EC = BE/ED = AB/CD.
MN có phải là đường trung bình của hình thang không?
Không, trừ khi AB = CD. Đường trung bình có độ dài (AB + CD)/2, còn MN đi qua giao điểm hai đường chéo và ngắn hơn.