Cho hình lập phương ABCD.${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B${\mathrm{B}}_1$, CD. ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{D}}_1$. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MP và ${\mathrm{C}}_1$N.

Lập phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng

(${\mathrm{P}}_1$): 2x + y + 2z + 1 = 0 và (${\mathrm{P}}_2$): 2x + y + 2z + 5 = 0.

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-3+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-1+4\mathrm{t}\end{array}\right.$

Viết phương trình đường thẳng $∆$ đi qua A , cắt và vuông góc với đường thẳng d.

Cho mặt phẳng (P) : x + 2y – 2z + 3 = 0

và đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=9\end{array}\right.$

Lập phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P).

Cho hai mặt phẳng:

(${\mathrm{P}}_1$): 2x + y + 2z + 1 = 0 và (${\mathrm{P}}_2$): 4x – 2y – 4z + 7 = 0.

Lập phương trình mặt phẳng sao cho khoảng cách từ mỗi điểm của nó đến (${\mathrm{P}}_1$) và (${\mathrm{P}}_2$) là bằng nhau.

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và song song với mặt phẳng (Q): x – z = 0.

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-2-\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1+4\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1-\mathrm{t}\end{array}\right.$ và song song với ${\mathrm{d}}_1$ $\frac{\mathrm{x}-1}{1}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-1}{-3}$

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng: d: $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-2-\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1+4\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1-\mathrm{t}\end{array}\right.$ và d': $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-1+\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=-3+4\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=2-3\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(-1; -1; 1) và chứa đường thẳng: d: $\frac{\mathrm{x}+2}{-1}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-1}{-1}$

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = (0; 6; 0). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.

Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm ${\mathrm{M}}_0\left({\mathrm{x}}_0,{\mathrm{y}}_0,{\mathrm{z}}_0\right)$ và song song với hai mặt phẳng cắt nhau

(P) Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 2x – y + 3z + 1 = 0 và (R): x – 2y – z + 8 = 0

Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt ${\mathrm{M}}_0\left({\mathrm{x}}_0,{\mathrm{y}}_0,{\mathrm{z}}_0\right)$ và ${\mathrm{M}}_1\left({\mathrm{x}}_1,{\mathrm{y}}_1,{\mathrm{z}}_1\right)$

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và vuông góc với đường thẳng d: $\frac{\mathrm{x}-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{3}$

Cho hai đường thẳng:

d: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6\\ \mathrm{y}=-2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=7+\mathrm{t}\end{array}\right.$ và $d_1: \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-2+\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=-2\\ \mathrm{z}=-11-\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$

Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và ${\mathrm{d}}_1$ đến (P) là bằng nhau.