Cho dãy số $u_n=\frac{7n+5}{5n+7}$. Tìm mệnh đề đúng?

Chọn đáp án A.

Công thức $u_n$ được viết lại: $u_n=\frac{7}{5}-\frac{24}{5\left(5n+7\right)}$ 

Xét hiệu số:$u_{n+1}-u_n=\left(\frac{7}{5}-\frac{24}{5\left[5\left(n+1\right)+7\right]}\right)-\left(\frac{7}{5}-\frac{24}{5\left(5n+7\right)}\right)$

$=\frac{24}{5}\left(\frac{1}{5n+7}-\frac{1}{5\left(n+1\right)+7}\right)>0\forall n\ge 1.$ 

$\Rightarrow u_{n+1}>\text{}{u}_n$. Vậy dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.

Ta có: $0<\frac{1}{5n+7}\le \frac{1}{12}\forall n\ge 1$

$\iff 0>-\frac{24}{5\left(5n+7\right)}\ge -\frac{2}{5}$ 

 $\iff \frac{7}{5}>\frac{7}{5}-\frac{24}{5\left(5n+7\right)}\ge \frac{7}{5}-\frac{2}{5}\iff 1\le u_n<\frac{7}{5}.$ 

Suy ra $\left(u_n\right)$ là một dãy số bị chặn.

Kết luận $\left(u_n\right)$ là một dãy số tăng và bị chặn.

Lý thuyết Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn:

*Xét tính tăng giảm:

Cho dãy số un (n $\in$ ℕ*), để xét tính tăng giảm của dãy số (un) ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính giá trị của (un + 1 – un).

Bước 2:

- Nếu un + 1 – un > 0($\forall$n$\in$ ℕ*) thì dãy số (un) là dãy số tăng.

- Nếu un + 1 – un < 0($\forall$n$\in$ ℕ*) thì dãy số (un) là dãy số giảm.

Bước 3: Kết luận tính tăng giảm của dãy số.

*Xét tính bị chặn:

1) Nếu số hạng tổng quát cho dưới dạng  thì:

Thu gọn un, dựa vào biểu thức thu gọn để chặn un.

Ta cũng có thể chặn tổng  bằng một tổng mà ta có thể biết được chặn trên, chặn dưới của nó.

2) Nếu dãy số (un) cho bởi một hệ thức truy hồi thì:

Dự đoán chặn trên, chặn dưới rồi chứng minh bằng phương pháp chứng minh quy nạp.

Ta cũng có thể xét tính đơn điệu (nếu có) sau đó giải bất phương trình un+1 − un dựa vào đó chặn (un).

3) Nếu số hạng tổng quát cho bởi công thức thì ta dựa vào phương pháp đánh giá (chú ý n ∈ N*)

Bài tập liên quan:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:

 $1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +n\left(3n+1\right)=n{\left(n+1\right)}^2$   (1)

Cách giải:

* Với n =  1:

  Vế trái của (1) =  1.4 = 4;  vế phải của (1) = $1.{( 1+1)}^2$ = 4.

 Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1).  Vậy (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k. Có nghĩa là ta có: $1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left(3k+1\right)=k{\left(k+1\right)}^2\left(2\right)$

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

$1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left(3k+1\right)+\left(k+1\right)\left(3k+4\right)=\left(k+1\right){\left(k+2\right)}^2$

Thật vậy $\underset{=k{\left(k+1\right)}^2}{\underbrace{1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left(3k+1\right)}}+\left(k+1\right)\left(3k+4\right)=k{\left(k+1\right)}^2+\left(k+1\right)\left(3k+4\right)$ 

$=(k+1).\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}[}k.(k+1)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{}3k+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4]=(k\text{}+\text{}1).(k^2+\text{}4k+\text{}4)=\left(k+1\right){\left(k+2\right)}^2$(đpcm).

Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

27 câu Trắc nghiệm Cấp số nhân – Toán lớp 11

30 câu Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân có đáp án