Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).
Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
*Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC
Hay \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\) và \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\)
Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC
Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2) và H(x; y) ta có:
• \(\overrightarrow {AH} \) = (x + 2; y – 1) và \(\overrightarrow {BC} \) = (4; –6)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} \) = 4.(x + 2) – 6.(y – 1) = 0
4x – 6y = –14
2x – 3y = –7(1)
• \(\overrightarrow {BH} \) = (x – 1; y – 4) và \(\overrightarrow {AC} \) = (7; –3)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} \) = 7.(x – 1) – 3.(y – 4) = 0
7x – 3y = –5(2)
Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 5x = 2
x = \(\frac{2}{5}\)
Thay x = \(\frac{2}{5}\) vào (1) ta được: 2.\(\frac{2}{5}\) – 3y = –7
3y = \(\frac{{39}}{5}\)
y = \(\frac{{13}}{5}\)
\(H\left( {\frac{2}{5};\frac{{13}}{5}} \right).\)
Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là \(H\left( {\frac{2}{5};\frac{{13}}{5}} \right).\)
* Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
Theo kết quả phần a) của Bài 4.15, trang 54, Sách Bài tập, Toán 10, tập một ta có:
\(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {IM} \) với M là trung điểm của BC.
Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2), \(H\left( {\frac{2}{5};\frac{{13}}{5}} \right)\) và I(a; b) ta có:
• \(\overrightarrow {AH} = \left( {\frac{{12}}{5};\frac{8}{5}} \right)\)
• M là trung điểm của BC nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\\{y_M} = \frac{{4 + \left( { - 2} \right)}}{2} = 1\end{array} \right.\)
M(3; 1)
\( \Rightarrow \overrightarrow {IM} \) = (3 – a; 1 – b)
\( \Rightarrow 2\overrightarrow {IM} \) = (6 – 2a; 2 – 2b)
Ta có \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {IM} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{5} = 6 - 2a\\\frac{8}{5} = 2 - 2b\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = \frac{{18}}{5}\\2b = \frac{2}{5}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{5}\\b = \frac{1}{5}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {\frac{9}{5};\frac{1}{5}} \right)\)
Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \(I\left( {\frac{9}{5};\frac{1}{5}} \right).\)
Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AG} \) bằng
Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} \] bằng
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).
Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \[\overrightarrow {MC} \] bằng
Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng. Tính công của trọng lực tác động lên xe, biết dốc dài 50 m và nghiêng 15° so với phương nằm ngang (trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường bằng 10 m/s²).
Cho tam giác ABC và điểm I sao cho \(\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 .\) Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?
Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và \[\widehat {ABC} = 60^\circ .\] Tích vô hướng \[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} \] bằng
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1). Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB ⊥ OC là
Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và \[\widehat {DAB} = 120^\circ .\] Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các điểm A, B, C, D và O. Số các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với \(\overrightarrow {AC} \) là:
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác \(\overrightarrow 0 ,\) có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.
Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\) những vectơ cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} .\)
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD. Lấy P thuộc đoạn DM và Q thuộc đoạn BN sao cho DP = 2PM, BQ = xQN. Đặt \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \] và \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow v .\]
a) Hãy biểu thị các vectơ \[\overrightarrow {AP} {\rm{, }}\overrightarrow {AQ} \] qua hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v .\)
b) Tìm x đề A, P, Q thằng hàng.
Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và \(\widehat {ABC} = 60^\circ .\) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} \) bằng
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác \(\overrightarrow 0 ,\) có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.
Chứng minh rằng BI = IJ = JD.
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.
