Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \[\overrightarrow {MC} \] bằng
A. \(\frac{{{a^2}}}{2};\)
B. \( - \frac{{{a^2}}}{2};\)
C. a2;
D. –a2.
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: B
Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C
\( \Rightarrow \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{{BM}}{{BM + MC}} = \frac{2}{{2 + 1}}\)
Hay \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow BM = \frac{2}{3}BC\)
Do đó \(\overrightarrow {BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)
Tương tự ta có \(\overrightarrow {MC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)
• \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BM} = - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)
\( = - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \)
\( = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)
• \[\overrightarrow {MC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\]
\( = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)
• Khi đó:
\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\)\( = - \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}A{B^2} - \frac{2}{9}A{C^2} + \frac{2}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
\( = \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}A{B^2} - \frac{2}{9}A{C^2}\)
• Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3a nên AB = AC = BC = 3a và \(\widehat {BAC} = 60^\circ .\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cos\widehat {BAC}\)
= 3a.3a.cos60° = \(\frac{9}{2}{a^2}.\)
Do đó \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}A{B^2} - \frac{2}{9}A{B^2}\]
\[ = \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{9}A{B^2}\]
\[ = \frac{1}{9}.\frac{9}{2}{a^2} - \frac{1}{9}.{\left( {3a} \right)^2}\]
= \(\frac{1}{2}\)a2 – a2 = \( - \frac{1}{2}\)a2.
Vậy \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \]\( - \frac{1}{2}\)a2.
Ta chọn phương án B.
Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AG} \) bằng
Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} \] bằng
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).
Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng. Tính công của trọng lực tác động lên xe, biết dốc dài 50 m và nghiêng 15° so với phương nằm ngang (trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường bằng 10 m/s²).
Cho tam giác ABC và điểm I sao cho \(\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 .\) Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?
Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và \[\widehat {ABC} = 60^\circ .\] Tích vô hướng \[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} \] bằng
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1). Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB ⊥ OC là
Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và \[\widehat {DAB} = 120^\circ .\] Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các điểm A, B, C, D và O. Số các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với \(\overrightarrow {AC} \) là:
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác \(\overrightarrow 0 ,\) có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.
Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\) những vectơ cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} .\)
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD. Lấy P thuộc đoạn DM và Q thuộc đoạn BN sao cho DP = 2PM, BQ = xQN. Đặt \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \] và \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow v .\]
a) Hãy biểu thị các vectơ \[\overrightarrow {AP} {\rm{, }}\overrightarrow {AQ} \] qua hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v .\)
b) Tìm x đề A, P, Q thằng hàng.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).
Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và \(\widehat {ABC} = 60^\circ .\) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} \) bằng
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác \(\overrightarrow 0 ,\) có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.
Chứng minh rằng BI = IJ = JD.
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.
