Tìm cực trị của các hàm số sau:

b) $y=\frac{x^2-8x+10}{x-2}$;

b) Tập xác định: D = ℝ\{2}.

Có $y^{\text{'}}=\frac{\left(2x-8\right)\left(x-2\right)-\left(x^2-8x+10\right)}{{\left(x-2\right)}^2}=\frac{x^2-4x+6}{{\left(x-2\right)}^2}=\frac{{\left(x-2\right)}^2+2}{{\left(x-2\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x\ne 2.$

Bảng biến thiên

Hàm số không có cực trị.

Phương pháp giải:

1. Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a,b) và điểm x₀ ∈ (a,b).

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀)  với mọi x ∈ (x₀ - h; x₀ + h) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ - h; x₀ + h) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀ .

2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị.

Định lý 1: Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x_o. Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm tại điểm x_o thì f‘(x_o) = 0.

Lưu ý: 

- Đạo hàm f‘(x) có thể bằng 0 tại điểm x_o nhưng hàm số f(x) không đạt cực trị tại điểm x_o.

- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

- Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

- Hàm số đạt cực trị tại x_o và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm (x_o ; f(x_o)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.

Ví dụ : Hàm số y = |x| và hàm số y = x³

3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.

Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = (x₀ - h; x₀ + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K\, với h > 0 .

- Nếu f‘(x) > 0 trên khoảng (x₀ - h; x₀) và f‘(x) < 0 trên (x₀ ; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x) .

- Nếu f‘(x) < 0 trên khoảng (x₀ - h; x₀) và f‘(x) > 0  trên (x₀ ; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x) .

Minh họa bằng bảng biến thiến

4. Quy tắc tìm cực trị của hàm số.

Quy tắc 1. 

Bước 1:  Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính f^'(x). Tìm các điểm tại đó f^'(x) bằng 0 hoặc  f^'(x) không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2.

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính  f^'(x). Giải phương trình  f^'(x) và ký hiệu x_i (i = 1,2,3...) là các nghiệm.

Bước 3: Tính  f^''(x) và  f^''(x_i) .

Bước 4: Dựa vào dấu của f^''(x_i) suy ra tính chất cực trị của điểm x_i .

Bài tập liên quan: 

Đạo hàm f'(x) của hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 12. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số y = f(x).

Cách giải:

Dựa vào đồ thị của hàm y = f'(x), ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng (−1; 2) và (4; 5).

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng (−2; −1) và (2; 4).

Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = −1 và x = 4.

Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = 2.

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Tính đơn diệu và cực trị của hàm số

Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Tính đơn diệu và cực trị của hàm số