Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° (Hình 16). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$  đều có cường độ là 4 700 N và trọng lượng của khung sắt là 3 000 N.

Gọi A1, B1, C1, D1 lần lượt là các điểm sao cho .

Vì EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° nên EA1, EB1, EC1, ED1 bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (A1B1C1D1) một góc bằng 60°.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên A1B1C1D1 cũng là hình chữ nhật.

Gọi O là tâm của hình chữ nhật A1B1C1D1.

Ta suy ra EO ⊥ (A1B1C1D1).

Do đó, góc giữa đường thẳng EA1 và mặt phẳng (A1B1C1D1) bằng góc EA1O.

Suy ra $\widehat{E{A}_{1}O}=60°$ .

Ta có $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|\overrightarrow{F_4}\right|=4700\left(N\right)$  nên EA1 = EB1 = EC1 = ED1 = 4 700.

Tam giác EOA1 vuông tại O nên EO = EA1 sin$\widehat{E{A}_{1}O}$ = 4 700 sin 60° = 2 350 $\sqrt{3}$.

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{E{A}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{A}_1},\overrightarrow{E{B}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{B}_1}$ ,$\overrightarrow{E{C}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{C}_1}$ , $\overrightarrow{E{D}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{D}_1}$ .

Vì O là trung điểm của A1C1 và B1D1 nên $\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{O{C}_1}=\overrightarrow{0},\overrightarrow{O{B}_1}+\overrightarrow{O{D}_1}=\overrightarrow{0}$ .

Từ đó suy ra $\overrightarrow{E{A}_1}+\overrightarrow{E{B}_1}+\overrightarrow{E{C}_1}+\overrightarrow{E{D}_1}=4\overrightarrow{EO}$$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{F_4}=4\overrightarrow{EO}$ .

Do đó, .

Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{F_4}=\overrightarrow{P}$ , ở đó  là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.

Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là

$\left|\overrightarrow{P}\right|=4\left|\overrightarrow{EO}\right|=4\cdot 2350\sqrt{3}=9400\sqrt{3}$ (N).

Vì trọng lượng của khung sắt là 3 000 N nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là

$9400\sqrt{3}-3000\approx 13281$ (N).

Lý thuyết Vectơ trong không gian

• Vectơ trong không gian

- Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

- Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau:

- Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$.

- Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$,…

- Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ được kí hiệu là $\left|\overrightarrow{AB}\right|$, độ dài của vectơ $\left|\overrightarrow{a}\right|$ được kí hiệu là $\left|\overrightarrow{a}\right|$.

- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó (H.2.4).

Bài tập liên quan:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hãy chỉ ra ba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp sao cho mỗi vectơ đó:

a) Bằng vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$  ;

Cách giải:

a) Do các vectơ $\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}},\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}},\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}$   cùng hướng với vectơ  và AA' = BB' = CC' = DD' (tính chất hình hộp) nên $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}=\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}$ .

Vậy ba vectơ $\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}},\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}},\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}$  có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vectơ  $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ .

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Lý thuyết Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (Cánh diều) | Lý thuyết Toán 12

Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian