Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = OB = OC = a: thể tích bằng bao nhiêu?
Lớp 12Toán

Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = OB = OC = a: thể tích bằng bao nhiêu?

Trả lời nhanh

Thể tích khối tứ diện OABC bằng V = a3/6. Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA vuông góc với mặt phẳng (OBC), tức OA chính là đường cao. Đáy OBC là tam giác vuông cân có diện tích a2/2, nên V = (1/3)·(a2/2)·a = a3/6.

Đề bài

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. Tính thể tích khối tứ diện OABC.

Tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc tại đỉnh O và cùng độ dài a
Tứ diện OABC vuông tại O: OA, OB, OC đôi một vuông góc và bằng nhau.

Lời giải chi tiết

  1. Chứng minh OA là đường cao. Ta có OA ⊥ OB và OA ⊥ OC, mà OB và OC cắt nhau tại O và cùng nằm trong mặt phẳng (OBC). Suy ra OA ⊥ (OBC).
  2. Diện tích đáy OBC. Tam giác OBC vuông tại O nên SOBC = (1/2)·OB·OC = (1/2)·a·a = a2/2.
  3. Thể tích. V = (1/3)·SOBC·OA = (1/3)·(a2/2)·a = a3/6.

Công thức tổng quát cần nhớ

Với tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc:

V = (1/6)·OA·OB·OC

Công thức này chính là (1/3)·(1/2·OB·OC)·OA gộp lại. Mẹo nhớ: “tích ba cạnh góc vuông chia 6”. Có thể hình dung tứ diện này là một “góc” cắt ra từ hình hộp chữ nhật có ba kích thước OA, OB, OC; thể tích hộp là OA·OB·OC và tứ diện chiếm đúng 1/6.

Vì sao không chọn đáy khác cũng được?

Bạn có thể chọn đáy là OAB, OAC hoặc OBC, kết quả đều giống nhau vì tính đối xứng của ba cạnh. Cách chọn đáy là mặt chứa đỉnh góc vuông O cho phép dùng ngay cạnh còn lại làm đường cao, không cần dựng thêm hình. Nếu chọn đáy là ABC thì phải tính khoảng cách từ O đến (ABC), dài dòng hơn.

Lỗi sai thường gặp

  • Quên hệ số 1/2 của diện tích tam giác vuông, dẫn đến kết quả a3/3.
  • Quên hệ số 1/3 trong công thức thể tích khối chóp, dẫn đến kết quả a3/2.
  • Lấy diện tích đáy là tam giác ABC (đều, cạnh a√2) nhưng vẫn nhân với OA làm chiều cao. OA không vuông góc với (ABC).
  • Áp dụng công thức V = OA·OB·OC/6 khi ba cạnh không đôi một vuông góc.

Mở rộng: khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)

Với OA = OB = OC = a, tam giác ABC đều cạnh a√2 nên SABC = (√3/4)·(a√2)2 = a2√3/2. Gọi h là khoảng cách từ O đến (ABC), ta có V = (1/3)·SABC·h, suy ra h = 3V/SABC = (a3/2)/(a2√3/2) = a/√3 = a√3/3.

Tổng quát: 1/h2 = 1/OA2 + 1/OB2 + 1/OC2. Kiểm tra: 3/a2 = 1/h2 nên h = a/√3, khớp kết quả trên.

Bài luyện tập

  1. Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = 3, OB = 4, OC = 5. Tính thể tích.
    Đáp án: V = (3·4·5)/6 = 10.
  2. Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = 2a, OC = 3a. Tính thể tích.
    Đáp án: V = (a·2a·3a)/6 = a3.
  3. Tứ diện OABC vuông tại O có OA = OB = OC và thể tích bằng 36. Tính OA.
    Đáp án: OA3/6 = 36 nên OA3 = 216, OA = 6.

Câu hỏi thường gặp

Công thức thể tích tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc là gì?

Nếu OA, OB, OC đôi một vuông góc thì V = (1/6)·OA·OB·OC. Công thức suy ra từ V = (1/3)·S đáy·chiều cao với đáy là tam giác vuông OBC và đường cao là OA.

Vì sao OA là đường cao của tứ diện OABC?

Vì OA vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau OB và OC nằm trong mặt phẳng (OBC), nên OA vuông góc với (OBC).

Khi OA = OB = OC = a thì thể tích là bao nhiêu?

V = a³/6. Đây là 1/6 thể tích hình lập phương cạnh a.

Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) khi OA = OB = OC = a là bao nhiêu?

Bằng a√3/3, tính từ công thức 1/h² = 1/OA² + 1/OB² + 1/OC² = 3/a².

Bài học liên quan