Cho tứ diện ABCD có $\widehat{B}=\widehat{D}={90}^0$

a) Chứng minh rằng bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh rằng $BD\le AC$. Tứ giác ABCD có thêm điều kiện gì để BD = AC

Cho tam giác ABC và điểm M là trung điểm của BC. Hạ MD, ME theo thứ tự vuông góc với AB và AC. Trên tia BD và CE lần lượt lấy các điểm I, K sao cho D là trung điểm của BI, E là trung điểm của CK. Chứng minh rằng bốn điểm B, I, K, C cùng nằm trên một đường tròn.

Cho đường tròn (O;R) điểm A cố định trên đường tròn, điểm B di chuyển trên đường tròn. Tìm quỹ tích trung điểm M của AB.

Cho tứ giác ABCD có $\widehat{C}+\widehat{D}={90}^0$. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH=1cm, BC=4cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở D.

a) Chứng minh rằng các điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD

b) Tính độ dài AD

Cho đoạn thẳng AB, tìm tập hợp các điểm M sao cho $\widehat{AMB}={90}^0$

Cho tứ diện ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.

Cho tam giác ABC đều. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng các điểm B, M, P, C thuộc một đường tròn

Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Điểm A di động trên (O), gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB và AC

a) Chứng minh rằng PQ có độ dài không đổi khi A di động trên (O)

b) Tìm quỹ tích trung điểm M của PQ

Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định, đường chéo AC = 2 cm. Tìm quỹ tích điểm D.

Trên đường tròn (O) lấy hai điểm B, C cố định. Điểm A di chuyển trên đường tròn, D là trung điểm của BC. Gọi M là hình chiếu của B trên đường thẳng AD.

1. Tìm tập hợp điểm M khi A di chuyển trên (O)

2. Tìm vị trí của điểm A trên (O) để BM có độ dài ngắn nhất.

Cho đường tròn (O) đường kính AB=R. C là một điểm chạy trên đường tròn đó. Trên tia BC lấy một điểm M sao cho C là trung điểm của BM. Tìm quỹ tích của điểm M.

Cho năm điểm A, B, C, D, E. Biết rằng qua bốn điểm A, B, C, D có thể vẽ được một đường tròn, qua bốn điểm B, C, D, E cũng vẽ được một đường tròn. Hỏi qua cả năm điểm A, B, C, D, E có thể vẽ được một đường tròn không?

Cho đường thẳng d và một điểm A cách đường thẳng d là 1cm. Dựng đường tròn (O) có bán kính 1,5 cm đi qua điểm A và có tâm nằm trên d.

Chứng minh rằng qua ba điểm thẳng hàng không thể có một đường tròn.