Tam giác ABC vuông tại A, D, E, F là trung điểm AB, BC, AC: chứng minh AE = DF

Đề bài và hình vẽ

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. Chứng minh rằng AE = DF.

Với giả thiết này, đề thường còn có thêm ý (b) về tính chất tứ giác; vì vậy thầy giải trọn ý (a) rồi bổ sung các ý mở rộng hay gặp ở phần sau.

Cách 1: dùng tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền và đường trung bình

1. Tam giác ABC vuông tại A có AE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC (E là trung điểm BC). Theo tính chất: trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, nên AE = BC/2.
2. Tam giác ABC có D là trung điểm AB và F là trung điểm AC nên DF là đường trung bình. Do đó DF ∥ BC và DF = BC/2.
3. Từ hai kết quả trên suy ra AE = DF (cùng bằng BC/2). ∎

Cách 2: chứng minh ADEF là hình chữ nhật

1. DE là đường trung bình của tam giác ABC (D, E là trung điểm AB, BC) nên DE ∥ AC, tức DE ∥ AF.
2. EF là đường trung bình của tam giác ABC (E, F là trung điểm BC, AC) nên EF ∥ AB, tức EF ∥ AD.
3. Tứ giác ADEF có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành. Hình bình hành này có góc A bằng 90° nên là hình chữ nhật.
4. Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau, mà AE và DF là hai đường chéo của ADEF. Vậy AE = DF. ∎

Cách 2 mạnh hơn cách 1 vì cho thêm nhiều kết quả: DE = AF = AC/2, EF = AD = AB/2.

Các ý mở rộng thường gặp

• Chứng minh ADEF là hình chữ nhật: chính là bốn bước của cách 2.
• Tứ giác BDFE là hình bình hành: DF ∥ BC nên DF ∥ BE, lại có DF = BC/2 = BE, nên BDFE có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
• Gọi M là điểm đối xứng với E qua F, chứng minh AECM là hình thoi: hai đường chéo AC và EM cắt nhau tại trung điểm F của mỗi đường nên AECM là hình bình hành; lại có EM ∥ AB và AB ⊥ AC nên EM ⊥ AC. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
• Khi nào ADEF là hình vuông? Khi AB = AC (tam giác ABC vuông cân tại A), vì khi đó hai cạnh kề AD, AF bằng nhau.

Lỗi sai thường gặp

• Nói “AE là đường trung bình”: sai, vì AE nối đỉnh A với trung điểm cạnh đối nên là đường trung tuyến.
• Dùng tính chất trung tuyến bằng nửa cạnh huyền mà quên nêu rõ tam giác vuông ở đâu.
• Chứng minh hình chữ nhật mà chỉ nêu “có góc vuông” khi chưa chứng minh được hình bình hành.

Bài luyện tập có đáp án

1. Cho BC = 10 cm. Tính AE và DF. Đáp án: AE = DF = 5 cm.
2. Cho AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính chu vi hình chữ nhật ADEF. Đáp án: AD = 3 cm, AF = 4 cm nên chu vi = 2·(3 + 4) = 14 cm.
3. Với AB = 6 cm, AC = 8 cm, tính AE. Đáp án: BC = √(6² + 8²) = 10 cm nên AE = 5 cm.