Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, BC = 5. Tính $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Tam giác ABC vuông tại A: $A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2$ (Định lý Pytago)

$\iff A{C}^2=5^2-3^2=16$.

⇒ AC = 4.

Do đó ta có: $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=4$.

Vậy ta chọn đáp án B.

Phương pháp giải:

Quy tắc ba điểm

Với ba điểm M, N, P, ta có $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$.

Chú ý: Khi cộng vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.

Định lí Pythagore

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông. 

$\mathrm{\Delta }ABC,\hat{A}={90}^o\Rightarrow B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

Bài tập liên quan: 

Cho hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ cùng tác động vào một vật đứng tại điểm O, biết hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ đều có cường độ là 50 (N) và chúng hợp với nhau một góc 60°. Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng bao nhiêu?

 A. 100 (N);

B. $50\sqrt{3}$ (N);

C. $100\sqrt{3}$ (N); 

D. Đáp án khác.

Cách giải:

Đáp án đúng là: B

Đặt $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$. Khi đó ta có $\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|$ = 50 (N) và $\widehat{AOB}=60°$.

Dựng điểm C sao cho tứ giác OACB là hình bình hành.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$ hay $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OC}$.

Suy ra lực tổng hợp của hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ là $\overrightarrow{OC}$.

Do đó cường độ tổng hợp lực của hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ là $\left|\overrightarrow{OC}\right|=OC$.

Vì OA = OB nên tam giác OAB cân tại O.

Mà  $\widehat{AOB}=60°$ nên tam giác OAB đều, do đó: AB = OA = OB = 50.

Gọi I là giao điểm của OC và AB

⇒ I là trung điểm OC và AB ⇒ BI = $\frac{AB}{2}=\frac{\left|\overrightarrow{AB}\right|}{2}=\frac{50}{2}$ = 25 (N).

Tam giác OAB đều có OI là đường trung tuyến.

Suy ra OI cũng là đường cao của tam giác OAB.

Tam giác OBI vuông tại I: $O{I}^2=O{B}^2-B{I}^2$ (Định lý Pytago)

$\iff O{I}^2={50}^2-{25}^2=1875$

⇒ OI = $25\sqrt{3}$ (N).

Do đó OC = 2OI = $50\sqrt{3}$ (N).

Vậy ta chọn đáp án B.

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ (Chân trời sáng tạo) | Toán lớp 10

20 câu Trắc nghiệm Tổng và hiệu của hai vectơ (Chân trời sáng tạo) – Toán lớp 10