Trả lời nhanh
Với hình bình hành ABCD tâm O, đẳng thức đúng là vectơ AB = vectơ OB − vectơ OA (quy tắc hiệu), cùng với OA + OC = 0, OB + OD = 0 và AB = DC. Đẳng thức AB = OA + OB là sai, vì OA + OB bằng hai lần vectơ OM với M là trung điểm AB, hoàn toàn khác vectơ AB. Cần chọn phương án có dấu trừ giữa OB và OA.
Những điều cần biết về hình bình hành ABCD tâm O
Tâm O của hình bình hành là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, đồng thời là trung điểm của cả hai đường chéo. Hai tính chất này sinh ra phần lớn các đẳng thức vectơ thường gặp:
- O là trung điểm của AC nên OA + OC = 0, tức OA = −OC (hai vectơ đối nhau).
- O là trung điểm của BD nên OB + OD = 0, tức OB = −OD.
- Hai cạnh đối song song và bằng nhau nên AB = DC và AD = BC (hai vectơ bằng nhau).
- Quy tắc hình bình hành: AB + AD = AC.
Chứng minh AB = OB − OA
Dùng quy tắc ba điểm với điểm O chen vào giữa A và B: vectơ AB = vectơ AO + vectơ OB. Vì AO = −OA nên AB = −OA + OB = OB − OA. Đây là quy tắc hiệu quen thuộc: vectơ nối hai điểm bằng vectơ từ gốc tới điểm cuối trừ vectơ từ gốc tới điểm đầu. Đẳng thức này đúng với bất kì điểm O nào, nên đúng cả khi O là tâm hình bình hành.
Vì sao AB = OA + OB là sai?
Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó OA + OB = 2·OM theo tính chất trung điểm. Vectơ 2·OM đi từ O về phía M, còn vectơ AB đi từ A tới B. Nói chung hai vectơ này không cùng phương, cho nên không bằng nhau.
Có thể kiểm tra nhanh bằng toạ độ. Chọn hình bình hành có A(0; 0), B(4; 0), C(6; 3), D(2; 3). Tâm O là trung điểm AC: O(3; 1,5). Khi đó OA = (−3; −1,5), OB = (1; −1,5). Ta có OA + OB = (−2; −3) nhưng AB = (4; 0). Hai kết quả khác nhau, nên phương án “AB = OA + OB” bị loại. Còn OB − OA = (1 + 3; −1,5 + 1,5) = (4; 0) trùng với AB, xác nhận đẳng thức đúng.
Bảng các hệ thức hay gặp
| Đẳng thức | Đúng hay sai | Lí do |
|---|---|---|
| AB = OB − OA | Đúng | Quy tắc hiệu |
| AB = DC | Đúng | Hai cạnh đối của hình bình hành |
| OA + OC = 0 | Đúng | O là trung điểm AC |
| OA + OB + OC + OD = 0 | Đúng | Cộng hai đẳng thức OA + OC = 0 và OB + OD = 0 |
| AB = OA + OB | Sai | OA + OB = 2·OM, M là trung điểm AB |
| AB = BC | Sai | Hai cạnh kề, khác phương |
| OA = OC | Sai | Hai vectơ đối nhau, chỉ bằng nhau về độ dài |
Mẹo nhớ và lỗi sai thường gặp
- Mẹo: thấy hiệu hai vectơ cùng gốc O thì nghĩ tới vectơ nối hai điểm cuối. Vectơ OB − OA luôn là vectơ AB (từ A đến B).
- Lỗi 1: nhầm “bằng nhau” với “độ dài bằng nhau”. Hai vectơ chỉ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài, vì vậy OA ≠ OC dù OA = OC về độ dài.
- Lỗi 2: áp dụng quy tắc hình bình hành sai gốc. Quy tắc AB + AD = AC chỉ đúng khi hai vectơ cùng xuất phát từ A.
- Lỗi 3: viết OA + OB = AB vì tưởng “cộng hai vectơ ra vectơ nối”. Tổng hai vectơ cùng gốc O cho vectơ đường chéo của hình bình hành dựng trên chúng, không phải vectơ nối hai điểm đầu mút.
Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có MA + MC = MB + MD.
Lời giải: Vì O là trung điểm AC nên MA + MC = 2·MO. Vì O là trung điểm BD nên MB + MD = 2·MO. Suy ra hai tổng bằng nhau.
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Rút gọn BO + DO + AD.
Lời giải: BO + DO = −OB − OD = −(OB + OD) = 0 (vì OB + OD = 0). Do đó tổng bằng AD.
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Biểu diễn vectơ OA − OB qua các vectơ có sẵn trên hình.
Lời giải: OA − OB = BA (quy tắc hiệu) = CD (hai vectơ đối nhau AB và CD nên BA = CD).
Câu hỏi thường gặp
Cho hình bình hành ABCD tâm O, đẳng thức nào luôn đúng?
Các đẳng thức luôn đúng gồm OA + OC = 0, OB + OD = 0, AB = DC và AB = OB − OA.
Vì sao AB = OA + OB là sai?
Vì OA + OB = 2·OM với M là trung điểm của AB, vectơ này khác vectơ AB cả về hướng lẫn độ dài.
Hai vectơ OA và OC có bằng nhau không?
Không. Chúng có cùng độ dài nhưng ngược hướng nên là hai vectơ đối nhau, OA = −OC.