Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Phương pháp giải:

Trọng tâm tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến.

Áp dụng quy tắc trọng tâm tam giác:

Điểm G là trọng tâm tam giác ABC thì ta có:

 

  với mọi điểm M bất kỳ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$.

Tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, suy ra $2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

Ta có E, F lần lượt là trung điểm AC, AB.

Suy ra $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AE}$ và $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AF}$.

Khi đó ta có $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\left(2\overrightarrow{AF}+2\overrightarrow{AE}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AF}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Bài tập liên quan: 

Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M bất kỳ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MO}$

B. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}$

C. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=3\overrightarrow{MO}$

D. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$

Cách giải:

Đáp án đúng là: D

Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Vì O là trung điểm AC và M là điểm tùy ý nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO}$ (1).

Vì O là trung điểm BD và M là điểm tùy ý nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}$ (2).

Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Lý thuyết Tích của một số với một vectơ (Chân trời sáng tạo) | Toán lớp 10

20 câu Trắc nghiệm Tích của một số với một vectơ (Chân trời sáng tạo) – Toán lớp 10