Trả lời nhanh
Với G là trọng tâm tam giác ABC và D, E, F lần lượt là trung điểm BC, CA, AB, ta có: vectơ GA + GB + GC = 0, GD + GE + GF = 0 và AD + BE + CF = 0. Chìa khoá là tính chất AG = 2GD (G nằm giữa A và D) cùng quy tắc trung điểm. Vì GD + GE + GF = 0 nên G cũng là trọng tâm tam giác DEF.
Lưu ý: đề gốc bị cắt ở phần yêu cầu. Dạng thường gặp nhất là chứng minh các đẳng thức vectơ ở trên, nên trang này giải cả nhóm câu hỏi đó. Em đối chiếu với đề của mình để lấy đúng ý cần dùng.
Hình vẽ và kiến thức cần nhớ
- Trọng tâm G là giao điểm ba trung tuyến AD, BE, CF và thoả mãn AG = 2⁄3AD, tức GA = –2·GD (hai vectơ ngược hướng).
- Quy tắc trung điểm: D là trung điểm BC thì GB + GC = 2GD với mọi điểm G; và AD = ½(AB + AC).
- Điều kiện trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = 0. Với M bất kì: MA + MB + MC = 3MG.
Chứng minh GA + GB + GC = 0
Vì D là trung điểm BC nên GB + GC = 2GD.
Vì G là trọng tâm nên G nằm giữa A và D, AG = 2GD, suy ra GA = –2GD.
Cộng lại: GA + GB + GC = –2GD + 2GD = 0. (đpcm)
Chứng minh GD + GE + GF = 0
Từ tính chất trọng tâm, GD = –½GA, GE = –½GB, GF = –½GC (vì GA = –2GD, …).
Do đó GD + GE + GF = –½(GA + GB + GC) = –½·0 = 0.
Đẳng thức này cho thấy G cũng là trọng tâm tam giác DEF.
Chứng minh AD + BE + CF = 0
Dùng quy tắc trung điểm cho từng trung tuyến:
- AD = ½(AB + AC)
- BE = ½(BA + BC)
- CF = ½(CA + CB)
Cộng ba đẳng thức: AD + BE + CF = ½(AB + BA + AC + CA + BC + CB) = ½·0 = 0. (đpcm)
Cách làm nhanh và lỗi sai thường gặp
- Mẹo nhớ: “Trọng tâm chia trung tuyến 2 : 1, tính từ đỉnh”. Muốn đổi GA sang GD thì nhân với –2.
- Sai dấu: GA và GD ngược hướng nên GA = –2GD, không phải +2GD. Đây là lỗi nhiều em mắc nhất.
- Nhầm tỉ số: GD = ⅓AD, còn GA = ⅔AD. Đừng viết GD = ⅔AD.
- Chưa có điểm chung gốc: với tổng như AD + BE + CF, hãy phân tích về AB, AC, BC bằng quy tắc trung điểm trước khi cộng.
Bài luyện tập
Bài 1. Với M là điểm bất kì, chứng minh MD + ME + MF = 3MG.
Giải: MD + ME + MF = (MG + GD) + (MG + GE) + (MG + GF) = 3MG + (GD + GE + GF) = 3MG + 0 = 3MG.
Bài 2. Biểu diễn AG theo AB và AC.
Giải: AG = ⅔AD = ⅔·½(AB + AC) = ⅓(AB + AC).
Bài 3 (tọa độ, ví dụ tự đặt). Cho A(1; 2), B(3; –1), C(5; 5). Tìm toạ độ G, D, E, F và kiểm tra G là trọng tâm tam giác DEF.
Giải: G = ((1+3+5)/3; (2–1+5)/3) = (3; 2). D(4; 2), E(3; 3,5), F(2; 0,5). Trung bình toạ độ D, E, F: x = (4+3+2)/3 = 3, y = (2+3,5+0,5)/3 = 2. Ra đúng G(3; 2), nên G cũng là trọng tâm tam giác DEF.
Bài 4. Chứng minh AEDF là hình bình hành và vectơ AF = ED.
Gợi ý: ED là đường trung bình ứng với AB nên ED = ½CB… hãy dùng ED = ½(CA + CB) – ½CA… hoặc chỉ cần ED song song, bằng AF vì cùng bằng ½AB. Em tự hoàn thiện lập luận nhé.
Câu hỏi thường gặp
Trọng tâm G chia trung tuyến theo tỉ số nào?
G chia mỗi trung tuyến theo tỉ số 2 : 1 tính từ đỉnh, tức AG = 2/3 AD và GD = 1/3 AD. Do đó GA = –2GD về vectơ.
Điều kiện vectơ để G là trọng tâm tam giác ABC là gì?
G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi GA + GB + GC = 0. Với M bất kì còn có MA + MB + MC = 3MG.
G có phải trọng tâm tam giác DEF không?
Có. Vì GD + GE + GF = –1/2(GA + GB + GC) = 0 nên G cũng là trọng tâm tam giác DEF.
Vì sao AD + BE + CF = 0?
Mỗi trung tuyến bằng nửa tổng hai cạnh kề, ví dụ AD = 1/2(AB + AC). Cộng ba đẳng thức thì các cặp vectơ đối nhau triệt tiêu, kết quả bằng vectơ không.