Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi I là trung điểm BC. Ta suy ra $2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

Ta có G là trọng tâm tam giác ABC nên $AG=\frac{2}{3}AI$.

Mà $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{AI}$ cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$.

Suy ra $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.

Vậy ta chọn đáp án A.

Phương pháp giải

* Định lí 1

Trong không gian cho hai vectơ a→; b→ không cùng phương và vectơ c→ . Khi đó ba vectơ a→; b→; c→ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c→ = ma→ + nb→. Ngoài ra cặp số (m, n) là duy nhất.

* Định lí 2

Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a→; b→; c→. Khi đó với mọi vectơ x→ ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x→ = ma→ + nb→ + pc→. Ngoài ra bộ ba số (m, n, p) là duy nhất.

* Sử dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp và trung điểm đoạn thẳng...

Bài tập liên quan: 

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Khi đó $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$ bằng:

A. $\overrightarrow{MN}$

B. $2\overrightarrow{MN}$

C. $3\overrightarrow{MN}$

D. $-2\overrightarrow{MN}$

Cách giải:

Đáp án đúng là: B

Vì M là trung điểm AB nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\iff -\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}\right)=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}$.

Vì N là trung điểm CD nên $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$.

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND}$

Suy ra $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}\right)+\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\right)+2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MN}$

Vậy ta chọn đáp án B.

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

5 dạng bài tập Vectơ trong không gian lớp 11 có lời giải chi tiết

Lý thuyết Tích của một số với một vectơ (Chân trời sáng tạo) | Toán lớp 10

 Trắc nghiệm Tích của một số với một vectơ (Chân trời sáng tạo) – Toán lớp 10