Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4, BC = 6. M là trung điểm của BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho ND = 3NC. Khi đó bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = 3.

Vì ND = 3NC nên NC = 1 và ND = 3.

Tam giác CMN vuông tại C theo định lí Py – ta – go có:

MN2 = MC2 + NC2 = 32 + 12 = 10 $\Rightarrow MN=\sqrt{10}.$ 

Tam giác AND vuông tại D theo định lí Py – ta – go có:

AN2 = AD2 + DN2 = 62 + 32 = 45 $\Rightarrow AN=3\sqrt{5}.$ 

Tam giác ABM vuông tại B theo định lí Py – ta – go ta có:

AM2 = AB2 + BM2 = 42 + 32 = 25 Þ AM = 5.

Nửa chu vi của tam giác AMN là: $p=\frac{AM+AN+MN}{2}=\frac{5+3\sqrt{5}+\sqrt{10}}{2}$ 

Diện tích tam giác AMN theo công thức Heron là:

$S=\sqrt{p\left(p-AM\right)\left(p-AN\right)\left(p-MN\right)}=7,5$ (đơn vị diện tích)

Mặt khác $S=\frac{AM.AN.MN}{4R}\Rightarrow R=\frac{AM.AN.MN}{4S}$ 

$\Rightarrow R=\frac{5.3\sqrt{5}.\sqrt{10}}{4.7,5}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$ 

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN bằng $\frac{5\sqrt{2}}{2}.$ 

Bài tập liên quan:

Trong sơ đồ, chùm sáng S hướng vào gương màu xanh, phản xạ vào gương màu đỏ và sau đó phản xạ vào gương màu xanh như hình vẽ. Biết OP = 2 m, $OQ=\sqrt{2}+\sqrt{6}$ m.

Khi đó đoạn PT bằng:

A. $\frac{2\sqrt{6}}{3} m;$

B. $\frac{2\sqrt{3}}{3} m;$

C. $\frac{2\sqrt{2}}{3} m;$

D. $\frac{\sqrt{6}}{3} m;$

Cách giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat{SQB}=\widehat{PQT}=\alpha ,\widehat{TPO}=\beta$ 

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

PQ2 = OP2 + OQ2 – 2.OP.OQ.cos $\widehat{POQ}$ 

$\Rightarrow P{Q}^2=2^2+{\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}^2–\mathrm{2.2.}\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right).cos45°$ Þ PQ2 = 8 $\Rightarrow PQ=2\sqrt{2}\left(m\right)$ 

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

$cos\alpha =cos\widehat{OQP}=\frac{O{Q}^2+P{Q}^2-O{P}^2}{2.OQ.PQ}=\frac{{\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}^2+8-2^2}{2.\left(\sqrt{2}+\sqrt{+6}\right).2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$ 

Þ α = 30°

Xét tam giác POQ có: β = 45° + α (tính chất góc ngoài của tam giác)

Þ β = 45° + 30° = 75° $\Rightarrow \widehat{TPO}=75°$ 

Xét tam giác OTP ta có: $\widehat{OTP}+\widehat{TOP}+\widehat{TPO}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Hay $\widehat{OTP}+45°+75°=180°$

$\Rightarrow \widehat{OTP}=180°-45°-75°=60°$ 

Áp dụng định lí sin cho tam giác OTP ta có: $\frac{OP}{\sin \widehat{OTP}}=\frac{PT}{\sin \widehat{TOP}}$ 

$\Rightarrow \frac{2}{\sin 60°}=\frac{PT}{\sin 45°}$ $\Rightarrow PT=\frac{2.\sin 45°}{\sin 60°}=\frac{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$ 

Vậy $PT=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$ 

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Lý thuyết Chương 4: Vecto (Kết nối tri thức) | Toán lớp 10

30 câu Trắc nghiệm Chương 4: Vectơ (Kết nối tri thức) – Toán lớp 10