Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SD với đáy bằng $60°$  . Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng (SBD)   theo a.

Đáp án A

Xác định $60°=\widehat{S\text{D},\left(ABC\text{D}\right)}=\widehat{S\text{D},A\text{D}}=\widehat{S\text{D}A}$  và $SA=A\text{D}.\tan \widehat{S\text{D}A}=2\text{a}\sqrt{3}$ .

Ta có $d\left(C,\left(SB\text{D}\right)\right)=d\left(A,\left(SB\text{D}\right)\right)$  .

Kẻ $A\text{E}\perp B\text{D}$  và kẻ $AK\perp SE$ .

Khi đó $d\left(A,\left(SB\text{D}\right)\right)=AK$ .

Tam giác vuông BAD, có $A\text{E}=\frac{AB.A\text{D}}{\sqrt{A{B}^2+A{\text{D}}^2}}=\frac{2\text{a}}{\sqrt{5}}$ .

Tam giác vuông SAE, có $AK=\frac{SA.A\text{E}}{\sqrt{S{A}^2+A{\text{E}}^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  .

Vậy $d\left(C,\left(SB\text{D}\right)\right)=AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Phương pháp giải

Để tính được khoảng từ điểm A đến mặt phẳng (α) thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm A trên (α)

Cho trước SA ⊥ Δ; trong đó S ∈ (α) và Δ ⊂ (α)

Bước 1: Dựng AK ⊥ Δ ⇒ Δ ⊥ (SAK) ⇒(α) ⊥ (SAK) và (α) ∩ (SAK) = SK

Bước 2: Dựng AP ⊥ SK ⇒ AP ⊥ (α) ⇒ d(A, (α)) = AP

Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông 

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ (hình vẽ). Khi đó ta có các hệ thức sau:

 

+) $A{B}^2=BH.BC$ và $A{C}^2=CH.BC$ hay $c^2=a.c^{\prime }$ và $b^2=a{b}^{\prime }$ (1)

+) $H{A}^2=HB.HC$ hay $h^2=c^{\prime }{b}^{\prime }$ (2)

+) $AB.AC=BC.AH$ hay $cb=ah$ (3)

+) ${\displaystyle \frac{1}{A{H}^2}}={\displaystyle \frac{1}{A{B}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{A{C}^2}}$ hay ${\displaystyle \frac{1}{h^2}}={\displaystyle \frac{1}{c^2}}+{\displaystyle \frac{1}{b^2}}$ (4).

+) $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ (Định lí Pitago). 

Bài tập liên quan:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, , SA = a. Tính khoảng cách từ trung điểm I của SC đến (SBD).

A. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a}{3}$

C. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{2a}{3}$

Cách giải:

Đáp án B.

Kẻ $AH\perp BD$ và AK⊥SH

Ta có $BD\perp SH$ và$$D⊥SA nên $BD\perp \left(SAH\right)\Rightarrow DB\perp AK$

Ta có: $$K+SH và $BD\perp AK$ nên $AK\perp \left(SBD\right)$

$\Delta ABD$ vuông$\Rightarrow AH=\frac{AD.AB}{BD}=\frac{2a}{\sqrt{5}}$

$\Delta SAH$ vuông => $AK = \frac{SA.AH}{SH} = \frac{a.{\displaystyle \frac{2a}{\sqrt{5}}}}{\sqrt{a^2+{\displaystyle \frac{4a^2}{5}}}} = \frac{2a}{3}$

Gọi O$$=AC∩BD, SO cắt AI tại G => G là trọng tâm$\Delta SAC$

$\frac{d(I;(SBD\left)\right)}{d(A;(SBD\left)\right)} = \frac{GI}{GA} =\frac{1}{2} ⇾d(I;(SBD\left)\right) = \frac{1}{2}AK =\frac{a}{3}$

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Đề thi tham khảo Toán 2024

Đề thi thử Toán 2024 phát triển từ đề tham khảo