Trả lời nhanh
Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD. E, F là trung điểm nên AE = CF = AB/2 và AE // CF, suy ra AECF là hình bình hành (một cặp cạnh đối song song và bằng nhau). Tương tự DEBF cũng là hình bình hành. Từ đó AF // CE, DE // BF và ba đường AC, BD, EF cùng đi qua một điểm.
Đề bài trên thường được viết đầy đủ là: “Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng…” và phần yêu cầu thay đổi theo từng đề. Dưới đây thầy cô giải các ý hay gặp nhất, bạn chọn ý trùng với đề của mình.
Hình vẽ và cách nhìn bài toán
Điểm mấu chốt: E và F là trung điểm của hai cạnh đối. Hai cạnh đối của hình bình hành vừa song song vừa bằng nhau, nên các đoạn “một nửa” AE, EB, DF, FC đều bằng nhau và cùng phương. Thấy được điều này là ra hướng chứng minh hình bình hành bằng dấu hiệu một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
Ý a) Chứng minh AECF là hình bình hành
- ABCD là hình bình hành nên AB // CD, tức AE // CF (E thuộc AB, F thuộc CD).
- Cũng vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD. E, F là trung điểm nên AE = AB/2, CF = CD/2, suy ra AE = CF.
- Tứ giác AECF có AE // CF và AE = CF nên là hình bình hành.
Hệ quả: AF // EC và AF = EC (hai cạnh đối còn lại của hình bình hành AECF).
Ý b) Chứng minh DEBF là hình bình hành
Làm hoàn toàn tương tự: DF // EB (vì DC // AB) và DF = DC/2 = AB/2 = EB. Vậy tứ giác DFBE là hình bình hành, suy ra DE // FB và DE = FB.
Ý c) Chứng minh AC, BD, EF đồng quy
- Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD. Theo tính chất, O là trung điểm của AC (và của BD).
- AECF là hình bình hành (ý a) nên hai đường chéo AC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Trung điểm của AC chính là O, nên O cũng là trung điểm của EF, tức O nằm trên EF.
Vậy AC, BD, EF cùng đi qua O. Ta còn có thêm: O là trung điểm của EF.
Ý d) (mở rộng) AF và CE chia BD thành ba phần bằng nhau
Gọi M = AF ∩ BD và N = CE ∩ BD. Ta chứng minh DM = MN = NB.
- Xét tam giác ABM: E là trung điểm AB và EN // AM (vì CE // AF), nên N là trung điểm BM, do đó BN = NM.
- Xét tam giác DCN: F là trung điểm DC và FM // CN, nên M là trung điểm DN, do đó DM = MN.
Suy ra DM = MN = NB, tức BD bị chia làm ba đoạn bằng nhau.
Lỗi sai thường gặp
- Chỉ chứng minh AE // CF mà quên AE = CF (hoặc ngược lại): thiếu một điều kiện thì chưa kết luận được hình bình hành.
- Viết sai thứ tự đỉnh: tứ giác phải là AECF (hoặc AFCE), không phải AEFC – vì AE và CF mới là hai cạnh đối.
- Dùng “E, F là trung điểm” mà không nói rõ AB = CD khi suy ra AE = CF. Hãy ghi rõ lý do.
Mẹo nhớ: “Trung điểm hai cạnh đối ⇒ hai nửa bằng nhau và song song ⇒ hình bình hành.”
Bài luyện tập
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD, M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh MBND là hình bình hành.
Gợi ý – đáp án: MD // BN (vì AD // BC) và MD = AD/2 = BC/2 = BN. Vậy MBND có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
Bài 2. Với ABCD, E, F như trên, chứng minh EF // AD và EF = AD. Từ đó tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để AECF là hình thoi.
Đáp án: AE // DF và AE = DF nên AEFD là hình bình hành, suy ra EF // AD, EF = AD. Hình bình hành AECF là hình thoi khi hai đường chéo vuông góc: AC ⊥ EF. Vì EF // AD nên điều kiện là AC ⊥ AD, tức góc CAD bằng 90°.
Câu hỏi thường gặp
Dấu hiệu nào dùng để chứng minh AECF là hình bình hành?
Dùng dấu hiệu tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau: AE // CF (do AB // CD) và AE = CF (cùng bằng nửa AB = nửa CD).
Vì sao AC, BD, EF đồng quy?
O là giao điểm hai đường chéo của ABCD nên là trung điểm AC. Trong hình bình hành AECF, hai đường chéo AC và EF có chung trung điểm, nên trung điểm đó cũng là O, do đó EF đi qua O.
Nếu đề bài cho yêu cầu khác thì sao?
Hãy dựa vào các kết quả đã chứng minh: AECF và DEBF là hình bình hành, AF // CE, DE // BF, EF // AD và EF = AD. Hầu hết các ý khác của bài đều suy ra từ những kết quả này.
AF và CE chia đường chéo BD như thế nào?
Chúng chia BD thành ba đoạn bằng nhau: DM = MN = NB, với M, N lần lượt là giao điểm của AF và CE với BD.