Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng y=3x-1 có tọa độ tiếp tuyến là

Đáp án C

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}$ .

Vì tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng $y=3x-1$ nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k=3$.

Suy ra hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: $\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}=3\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}\right.$

Trường hợp 1: $x=0$, suy ra tung độ của tiếp điểm là $y_0=-1$.

Phương trình của tiếp tuyến là:$y+1=3\left(x-0\right)\iff y=3x-1$ (không thỏa mãn).

Trường hợp 2: $x=-2$, suy ra tung độ của tiếp điểm là $y_0=5$

Phương trình của tiếp tuyến là:  $y-5=3\left(x+2\right)\iff y=3x+11$( thỏa mãn).

Vậy tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến là $B\left(-2;5\right)$

Các dạng bài tập về tiếp tuyến:

Dạng 1. Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị 

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

y =   f’(x₀).(x – x₀) + f(x₀)

Trong đó:

M₀(x₀; y₀) gọi là tiếp điểm.

k = f'(x₀) là hệ số góc.

Chú ý:

- Nếu cho x₀ thì thế vào y = f(x) tìm y₀.    

- Nếu cho y₀ thì thế vào y = f(x) tìm x₀.

Dạng 2. Tiếp tuyến biết hệ số góc:

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi M(x₀; f(x₀)) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của (C) thì f'(x₀) = k

Bước 2: Giải phương trình f'(x₀) = k với ẩn là x₀.

Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng y = k(x – x₀) + f(x₀).

 Chú ý:   

* Cho hai đường thẳng: d₁ : y = a₁x + b₁ và d₂ : y = a₂x + b₂, với a₁, a₂ lần lượt là hệ số góc của d₁ và d₂. Khi đó: 

 

* Hệ số góc của đường thẳng (d) y = ax + b là: k_d = a = tanα với α là góc nằm bên trên trục hoành tạo bởi đường thẳng (d) và chiều dương của trục Ox.

Khi a > 0, ta có k_d = tanα = a.

Khi a < 0, ta có k_d = tan(180° − α).

Dạng 3. Tiếp tuyến đi qua một điểm:

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là M(x₀; f(x₀)). Tính y' = f'(x).

Hệ số góc của tiếp tuyến d là k = f'(x₀).

Phương trình đường thẳng d: y = f'(x₀)(x – x₀) + f(x₀).

Bước 2: Do đường thẳng d đi qua điểm A(x_A; y_A)

Nên y_A = f'(x₀)(x_A – x₀) + f(x₀). Phương trình đưa về ẩn x₀ . Giải phương trình tìm x₀.

Bước 3: Với x₀ tìm được, quay lại dạng 2 .Từ đó viết phương trình d.

Bài tập liên quan: 

Cho hàm số $y=x^3-3x^2$ có đồ thị (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Tìm giá trị của tham số m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng $d:y=\left(m^2-4\right)x+2m-1$.

Cách giải:

Tập xác định $D=R$.

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-6x$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $M\left(1;-2\right)\in \left(C\right)$ là

$\Delta :y+2=\left({3.1}^2-6.1\right)\left(x-1\right)\iff y=-3x+1$.

Khi đó: .$\Delta //d\iff \{\begin{array}{c}-3=m^2-4\\ 2m-1\ne 1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}[\begin{array}{c}m=1\\ m=-1\end{array}\\ m\ne 1\end{array}\iff m=-1$

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

50 Bài tập Quy tắc tính đạo hàm - Toán 11

50 Bài tập Đạo hàm của hàm số lượng giác - Toán 11