Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề: Lũy thừa với số mũ tự nhiên, tài liệu bao gồm 29 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu gồm có:

I. Lý thuyết

II. Bài tập

CHUYÊN ĐỀ: LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

Bài 1: SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LUỸ THỪA

A. Lý thuyết:

1. Khái niệm: \({a^2} = \underbrace {a.a.a.....a}_{nthuaso}(a \ne 0,n \in N)\)

2. Quy ước: \({a^1} = 1\); \({a^0} = 1\); \({0^n} = 0\) (n thuộc N^*)

\({a^2}\): bình phương của a \(\left( {a \ne 0} \right)\); \({a^3}\): lập phương của a \(\left( {a \ne 0} \right)\)

3. Các tính chất: Với mọi a,b \( \ne 0\); m, n thuộc N

\({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\); \({a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\); \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\); \({\left( {a.b} \right)^n} = {a^m}.{a^n}\)

B. Bài tập

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau

a. \(A = \frac{{{3^{10}}.10 + {3^{10}}.6}}{{{3^9}{{.2}^{{2^2}}}}}\)

b. \(B = \frac{{{{11.3}^{22}}{{.3}^7} - {9^{15}}}}{{{{\left( {{{2.3}^{14}}} \right)}^2}}}\)

c. \(C = \frac{{{{36}^{10}}{{.25}^{15}}}}{{{{30}^8}}}\)

d. \(D = \frac{{{{21}^4}.14.126}}{{{{35}^5}.6}}\)

e. \(E = \frac{{{{11.3}^{22}}{{.3}^7} - {9^{15}}}}{{{{\left( {{{2.3}^{14}}} \right)}^2}}}\)

f. \(F = \frac{{{4^9}.36 + {{64}^4}}}{{{{100.16}^4}}} = \frac{{{4^9}.4.9 + {4^{12}}}}{{{{100.4}^8}}} = \frac{{{4^{10}}.\left( {9 + {4^2}} \right)}}{{{4^8}.100}} = 4\)

Lời giải

a. \(A = \frac{{{3^{10}}.10 + {3^{10}}.6}}{{{3^9}{{.2}^{{2^2}}}}} = \frac{{{3^{10}}.\left( {10 + 6} \right)}}{{{3^9}{{.2}^4}}} = \frac{{{3^{10}}{{.2}^4}}}{{{3^9}{{.2}^4}}} = 3\)

b. \(B = \frac{{{{11.3}^{22}}{{.3}^7} - {9^{15}}}}{{{{\left( {{{2.3}^{14}}} \right)}^2}}} = \frac{{{{11.3}^{29}} - {3^{30}}}}{{{{4.3}^{28}}}} = \frac{{{3^{29}}\left( {11 - 3} \right)}}{{{{4.3}^{28}}}} = \frac{{3.8}}{4} = 6\)

c. \(C = \frac{{{{36}^{10}}{{.25}^{15}}}}{{{{30}^8}}} = \frac{{{{\left( {{6^2}} \right)}^{10}}.{{\left( {{5^2}} \right)}^{15}}}}{{{{\left( {6.5} \right)}^8}}} = \frac{{{6^{20}}{{.5}^{30}}}}{{{6^8}{{.5}^8}}} = {6^{12}}{.5^{22}}\)

d. \(D = \frac{{{{21}^4}.14.126}}{{{{35}^5}.6}} = \frac{{{3^2}{{.7}^2}{{.2.7.2.3}^2}.7}}{{{3^5}{{.7}^5}.2.3}} = \frac{{{2^2}{{.3}^4}{{.7}^4}}}{{{{2.3}^6}{{.7}^5}}} = \frac{2}{{{3^2}.7}}\)

e. \(E = \frac{{{{11.3}^{22}}{{.3}^7} - {9^{15}}}}{{{{\left( {{{2.3}^{14}}} \right)}^2}}} = 2\)

f. \(F = \frac{{{4^9}.36 + {{64}^4}}}{{{{100.16}^4}}} = \frac{{{4^9}.4.9 + {4^{12}}}}{{{{100.4}^8}}} = \frac{{{4^{10}}.\left( {9 + {4^2}} \right)}}{{{4^8}.100}} = 4\)

Bài 2: Viết các tích sau dưới dạng luỹ thừa

a. \(3y.3y.3y\) \((y \ne 0)\)

b. \({x^1}.{x^2}...{x^{100}}\left( {x \ne 0} \right)\)

c. \({z^1}.{z^4}.{z^7}...{x^{100}}\left( {z \ne 0} \right)\)

d. \({\left( {{m^1}} \right)^2}.{\left( {{m^2}} \right)^3}.{\left( {{m^3}} \right)^4}....{\left( {{m^{99}}} \right)^{100}}\left( {m \ne 0} \right)\)

Lời giải

a. \(3y.3y.3y\) \((y \ne 0) = {\left( {3y} \right)^3}\)

b. \({x^1}.{x^2}...{x^{100}} = {x^{1 + 2 + ... + 100}} = {x^{5050}}\left( {x \ne 0} \right)\)

c.

\(\begin{array}{l}{z^1}.{z^4}.{z^7}...{x^{100}}\left( {z \ne 0} \right) = {z^{1 + 4 + 7 + ... + 100}}\\ = {z^{\left( {100 + 1} \right).34:2}} = {z^{101.17}}\end{array}\)

d.

\(\begin{array}{l}{\left( {{m^1}} \right)^2}.{\left( {{m^2}} \right)^3}.{\left( {{m^3}} \right)^4}....{\left( {{m^{99}}} \right)^{100}}\left( {m \ne 0} \right)\\ = {m^{1.2}}.{m^{2.3}}...{m^{99.10}} = {m^{\frac{1}{3}.99100.101}}\end{array}\)

Bài 3: Tính các tổng sau

a. \(A = 1 + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{2015}}\)

b. \(B = 1 + {3^1} + {3^2} + ... + {3^{2016}}\)

Lời giải

a.

\(\begin{array}{l}A = 1 + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{2015}}\\ \Rightarrow 2A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2016}}\\ \Rightarrow 2A - A = {2^{2016}} - 1.\end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l}B = 1 + {3^1} + {3^2} + ... + {3^{2016}}\\ \Rightarrow 3B = 3 + {3^2} + ... + {3^{2017}}\\ \Rightarrow 2B = {3^{2017}} - 1 \Rightarrow B = \frac{{{3^{2017}} - 1}}{2}\end{array}\)

Bài 4: Tính \(S = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 8192\)

Lời giải

\(\begin{array}{l}S = {2^0} + {2^1} + ... + {2^{13}} \Rightarrow 2S = 2 + {2^2} + ... + {2^{14}}\\ \Rightarrow S = {2^{14}} - 1 = 16383\end{array}\)

Bài 5: Viết các tổng sau thành bình phương của một số tự nhiên

a. \({1^3}\)

b. \({1^3} + {2^3}\)

c. \({1^3} + {2^3} + {3^3}\)

d. \({1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3}\)

e. phát biểu dưới dạng tổng quát (không cần chứng minh)

Lời giải

a. \({1^3} = {1^2}\)

b. \({\left( {1 + 2} \right)^2}\)

c. \({\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}\)

d. \({\left( {1 + 2 + 3 + 4} \right)^2}\)

e. \({1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {n^3} = {\left( {1 + 2 + 3 + ... + n} \right)^2}\) (\(n \ge 1\); n thuộc N)

Bài 6: Cho \(A = 1 + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{2015}}\). Viết A + 1 dưới dạng luỹ thừa của 8

Lời giải

\(A = {2^{2016}} - 1 \to A + 1 = {2^{2016}} = {\left( {{2^3}} \right)^{672}} = {8^{672}}\)

Bài 7: Cho \(B = 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{2015}}\). CMR: 2B + 3 là luỹ thừa của 3

Lời giải:

\(B = \frac{{{3^{2016}} - 3}}{2} \Rightarrow 2B + 3 = {3^{2016}}\)

Bài 8: Chứng minh rằng

a. \({10^{2018}} + 125\) chia hết cho 45

b. \({5^{2018}} + {5^{2007}} + {5^{2006}}\) chia hết cho 31

c. \(M = {8^8} + {2^{20}}\) chia hết cho 17

d. \(H = {313^5}.299 - {313^6}.36\) chia hết cho 7

Lời giải

a. Ta có: \({10^{2008}} + 125 = \overline {\underbrace {100...0}_{2005so0}}  + 125 = \overline {\underbrace {100...0125}_{}} \), A có tận cùng là 5 \( \to \) A chia hết cho 5.

Tổng các chữ số của A là : \(1 + 2 + 5 + 1 = 9 \to \) A chia hết cho 9, mà \(\left( {5,9} \right) = 1\)

Vậy A chia hết cho 45

b. \(B = {5^{2006}}\left( {{5^2} + {5^1} + 1} \right) = {5^{2006}}.31\) chia hết cho 31

c. \(M = {\left( {{2^3}} \right)^8} + {2^{20}} = {2^{24}} + {2^{20}} = {2^{20}}\left( {{2^4} + 1} \right) = {17.2^{20}}\) chia hết cho 17.

d. \(H = {313^5}.299 - {313^6}.36 = {313^5}.299 - {313^6} - {35.313^6} = {315^5}\left( {299 - 313} \right) - {35.313^6}\) \(H =  - {14.313^5} - {35.313^6}\)chia hết cho 7

Bài 9: Cho \(A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{60}}\). Chứng minh rằng \(A \vdots 3\); \(A \vdots 5\); \(A \vdots 7\)

Lời giải:

\(\begin{array}{l}A = \left( {2 + {2^2}} \right) + \left( {{2^3} + {2^4}} \right) + ...\left( {{2^{57}} + {2^{58}}} \right) + \left( {{2^{59}} + {2^{60}}} \right)\\ = 2.\left( {1 + 2} \right) + {2^3}\left( {1 + 2} \right) + ... + {2^{59}}\left( {1 + 2} \right)\end{array}\)

\( = \left( {1 + 2} \right).\left( {2 + {2^3} + {{...2}^{59}}} \right) = 3.\left( {...} \right) \vdots 3\)

\(A = \left( {2 + {2^2} + {2^3}} \right) + \left( {{2^4} + {2^5} + {2^6}} \right) + ... + \left( {{2^{58}} + {2^{59}} + {2^{60}}} \right)\)

\( = 2.\left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + {2^4}\left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + ... + {2^{58}}\left( {1 + 2 + {2^2}} \right)\)

\( = \left( {1 + 2 + {2^2}} \right)\left( {2 + {2^4} + {2^7} + ... + {2^{58}}} \right) = 7.\left( {2 + {2^4} + ... + {2^{58}}} \right) \vdots 7\)

\(\begin{array}{l} \to A = \left( {2 + {2^3}} \right) + \left( {{2^2} + {2^4}} \right) + ... + \left( {{2^{58}} + {2^{60}}} \right)\\ = 2\left( {1 + {2^2}} \right) + {2^2}\left( {1 + {2^2}} \right) + ... + {2^{58}}\left( {1 + {2^2}} \right)\end{array}\)

\( = \left( {1 + {2^2}} \right)\left( {2 + {2^2} + ... + {2^{57}} + {2^{58}}} \right) = 5.\left( {2 + {2^2} + .. + {2^{58}}} \right) \vdots 5\)

Bài 10: Tính tổng sau: \(M = 1 - 2 + {2^2} - {2^3} + ... + {2^{2008}}\)

Lời giải:

\(\begin{array}{l}M = 1 - 2 + {2^2} - {2^3} + ... + {2^{2008}}\\ \Rightarrow 2M = 2 - {2^2} + {2^3} - {2^4} + ... + {2^{2009}}\\ \Rightarrow 2M + M = {2^{2009}} + 1\end{array}\)

\( \Rightarrow M = \frac{{{2^{2009}} + 1}}{3}\)

Bài 2: SO SÁNH HAI LUỸ THỪA – PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH TRỰC TIẾP

A. Quy tắc so sánh: Ta biến đổi hai luỹ thừa cần so sánh thành các luỹ thừa hoặc cùng cơ số hoặc cùng số mũ để so sánh

- Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.

\({a^m} > {a^n}\)   \(\left( {a > 1} \right)\)$⟺$ \(m > n\)

- Nếu 2 luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.

\({a^n} > {a^n}\)   \(\left( {n > 0} \right)\)$⟺$ \(a > b\)

Dạng 1: Biến đổi về cùng cơ số hoặc số mũ

Bài 1: Hãy so sánh

a. \({128^7}\) và \({4^{24}}\)

b. \({81^8}\) và \({27^{11}}\)

c. \({5^{36}}\) và \({11^{24}}\)

d. \({32^{60}}\) và \({81^{50}}\)

e. \({3^{500}}\) và \({7^{300}}\)

Lời giải

a. Có : \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{{{128}^7} = {{\left( {{2^7}} \right)}^7} = {2^{49}}}\\{{4^{24}} = {{\left( {{2^2}} \right)}^{24}} = {4^{24}}}\end{array}} \right\} \Rightarrow {128^7} > {4^{24}}\)

b. \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{{{81}^8} = {3^{32}}}\\{{{27}^{11}} = {3^{33}}}\end{array}} \right\} \Rightarrow {81^8} < {27^{11}}\)

c. \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{36}} = {{125}^{12}}}\\{{{11}^{24}} = {{121}^{12}}}\end{array}} \right\} \Rightarrow {5^{36}} > {11^{24}}\)

d. \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{{{32}^{60}} = {2^{300}} = {8^{100}}}\\{{{81}^{50}} = {3^{200}} = {9^{100}}}\end{array}} \right\} \Rightarrow {32^{60}} < {81^{50}}\)

e. \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{500}} = {{243}^{100}}}\\{{7^{300}} = {{343}^{100}}}\end{array}} \right\} \Rightarrow {3^{500}} < {7^{300}}\)

Bài 2: Hãy so sánh

a. \({16^{19}}\) và \({8^{25}}\)

b. \({27^{11}}\) và \({81^8}\)

c. \({625^5}\) và \({125^7}\)

d. \({5^{23}}\) và \({6.5^{22}}\)

e. \({7.12^{13}}\) và \({2^{16}}\)

f. \({5^{100}}\) và \({3^{500}}\)

g. \({2^{30}} + {3^{30}} + {4^{30}}\) và \({3.24^{10}}\)

Lời giải

a. \({16^{19}} = {\left( {{2^4}} \right)^{19}} = {2^{76}}\);

\({8^{25}} = {\left( {{2^3}} \right)^{25}} = {2^{75}} \Rightarrow {2^{76}} > {2^{75}} \Rightarrow {16^{19}} > {8^{25}}\)

b. \({27^{11}} = {\left( {{3^3}} \right)^{11}}\);

\(81 = {\left( {{3^4}} \right)^8} = {3^{32}} \Rightarrow {3^{33}} > {3^{32}} \Rightarrow {27^{11}} > {81^8}\)

c. \({625^5} = {\left( {{5^4}} \right)^5} = {20^5}\);

 \(125 = {\left( {{5^3}} \right)^7} = {5^{21}} \Rightarrow {125^7} > {625^5}\)

d. \({5^{23}} = {5.5^{22}} < {6.5^{22}} \Rightarrow {6.5^{22}} > {5^{23}}\)

e. \({7.2^{13}} < {8.2^{13}} = {2^3}{.12^{13}} = {2^{16}} \Rightarrow {2^{16}} > {7.2^{13}}\)

f. \({5^{300}} = \left( {{5^3}} \right)100 = {125^{100}}\& {3^{500}} = {\left( {{3^3}} \right)^{100}} = {243^{100}}\)

\( \Rightarrow {5^{300}} < {3^{500}}\)

g. \({4^{30}} = {\left( {{2^2}} \right)^{30}} = {\left( {2.2} \right)^{30}} = {2^{30}}{.2^{30}} = {\left( {{2^3}} \right)^{10}}.{\left( {{2^2}} \right)^{15}}\)

\( > {8^{10}}{.3^{15}} > {8^{10}}{.3^{10}}.3 = {\left( {8.3} \right)^{10}}.3 = {24^{10}}.3\)

Vậy \({2^{30}} + {3^{30}} + {4^{30}} > {3.24^{10}}\)

Bài 2: So sánh

a. \({3^{2n.\left( {n + 2} \right)}}\) và \({9^{{{(n + 1)}^2}}}\) \(\left( {n \in N} \right)\)

b. \({256^n}\) và \({16^{n + 5}}\) với \(n \in N\)

Lời giải:

a. Ta có: \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{2n\left( {n + 2} \right)}} = {9^{n\left( {n + 2} \right)}} = {9^{{n^2} + 2n}}}\\{{9^{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = {9^{{n^2} + 2n + 1}}}\\{{n^2} + 2n + 1 > {n^2} + 2n}\end{array}} \right\}\)

\( \Rightarrow {9^{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} > {9^{n\left( {n + 2} \right)}} \Rightarrow {9^{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} > {3^{2n\left( {n + 2} \right)}}\) \(\left( {\forall n \in N} \right)\)

b. \({256^n} = {16^{2n}}\) suy ra bài toán trở thành so sánh 2n và n + 5

+) Nếu \(2n > n + 5 \Leftrightarrow n > 5\)

+) Nếu \(2n = n + 5 \Leftrightarrow n = 5\)

+) Nếu \(2n < n + 5 \Leftrightarrow n < 5\)

Vậy: Nếu \(0 \le n < 5\) thì \({256^n} > {16^{2n}}\)

Nếu \(n = 5\) thì \({256^n} = {16^{2n}}\); Nếu \(n > 5\)thì \({256^n} > {16^{2n}}\)

Bài 3: Chứng minh rằng: \({5^{27}} < {2^{63}} < {5^{28}}\)

Lời giải:

\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{27}} = {{125}^9}}\\{{2^{63}} = {{\left( {{2^7}} \right)}^9} = {{128}^9}}\end{array}} \right\} \Rightarrow {5^{27}} < {2^{63}}\) (1); \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{63}} = {{\left( {{2^9}} \right)}^7} = {{312}^7}}\\{{5^{28}} = {{\left( {{5^4}} \right)}^7} = {{625}^7}}\end{array}} \right\}{2^{63}} < {5^{28}}\left( 2 \right) \to {5^{27}} < {2^{63}} < {5^{28}}\)

Dạng 2: Đưa về một tích trong đó có thừa số giống nhau

Bài 1: Hãy so sánh

a. \({21^{15}}\) và \({27^5}{.49^8}\)

b. \({2015^{2015}} - {2015^{2014}}\) và \({2015^{2016}} - {2015^{2015}}\)

c. \({2015^{2010}} + {2015^9}\) và \({2015^{10}} - {2015^{2015}}\)

d. \(A = {72^{45}} - {72^{44}}\); \(B = {72^{44}} - {72^{43}}\)

e. \({71^{50}}\) và \({37^{75}}\)

Lời giải:

a. \({21^{15}} = {3^{15}}{.7^{15}}\); \({27^5}{.49^8} = {3^{15}}{.7^{16}} \Rightarrow {21^{15}} < {27^5}{.49^8}\)

b.

\(\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{2015^{2015}} - {2015^{2014}} = {2015^{2014}}\left( {2015 - 1} \right)\\ = {2014.2015^{2014}}\end{array}\\{{{2015}^{2016}} - {{2015}^{2015}} = {{2014.2015}^{2015}} \Rightarrow ...}\end{array}\)

c. \({2015^{10}} + {2015^9} = {2015^9}\left( {2015 + 1} \right) = {2016.2015^9}\);

\({2016^{10}} = {2016.2016^9} \Rightarrow ...\)

d. \(A = {72^{44}}\left( {72 - 1} \right) = {72^{44}}.71\)

và \(B = {72^{43}}\left( {72 - 1} \right) = {72^{43}}.71 \to A > B\)

e. Ta thấy: \({71^{50}} < {72^{50}} = {\left( {8.9} \right)^{50}} = {2^{150}}{.3^{100}}\) (1)

\({37^{75}} > {36^{75}} = {\left( {4.9} \right)^{75}} = {2^{150}}{.3^{150}}\) (2)

mà \({2^{150}}{.3^{150}} > {2^{150}}{.3^{100}}\)  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({37^{75}} > {71^{50}}\)