Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề: Số nguyên tố, hợp số, tài liệu bao gồm 28 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu gồm có:

I. Lý thuyết

II. Bài tập

CHUYÊN ĐỀ: SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa số nguyên tố: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

P là số nguyên tố \( \Leftrightarrow U(p) = \left\{ {1,p} \right\}\)

Vd: 2, 3, 5, 7,…

- Số nguyên tố nhỏ nhất là 2, đó là số nguyên tố chẵn duy nhất. Tất cả số nguyên tố còn lại đều là số lẻ.

2. Định nghĩa hợp số: Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước

- Ước nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số a là một số không vượt quá \(\sqrt a \).

3. Các tính chất

a. Số 0, 1 không phải số nguyên tố, không phải hợp số

b. Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất

c. Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất

d. Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn

e. Mọi hợp số đều có thể phân tích ra thừa số nguyên tố và kết quả phân tích đó là duy nhất

f. Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng: \(4k \pm 1\); \(6n \pm 1\)

g. Tập hợp các số tự nhiên bao gồm: Số 0, 1, số nguyên tố, hợp số

h. Nếu a.b chia hết cho p (p là số nguyên tố) thì a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p

i. Số ước số của hợp số

Gỉa sử \(n = p_1^{{n_1}}.p_2^{{n_2}}...p_k^{{n_k}}\)\(\left( {{n_1},{n_2},...,{n_k} \in {N^*}} \right) \Rightarrow \)

\({p_1},{p_2},...,{p_k}\): Số nguyên tố     \({n_1},{n_2},...,{n_k}\left( {k \in {N^*}} \right)\)

\( \Rightarrow \)số ước số của n là: \(\left( {{n_1} + 1} \right)\left( {{n_2} + 1} \right)....\left( {{n_k} + 1} \right)\)

Vd: \(100 = {2^2}{.5^2} \Rightarrow 100\) có : \(\left( {2 + 1} \right)\left( {2 + 1} \right) = 9\) ước.

4. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

- Là viết số đó dưới dạng tích của nhiều thừa số, mỗi thừa số là một số nguyên tố hoặc là luỹ thừa của một số nguyên tố.

- Dù phân tích một thừa số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cuối cùng ta cũng được một kết quả duy nhất.

5. Số nguyên tố cùng nhau.

- Hai hay nhiều số được gọi là nguyên tố cùng nhau khi UCLN của chúng bằng 1.

- Hai số tự nhiên lên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.

B. Bài tập

*) Phương pháp kiểm tra một số là số nguyên tố hay hợp số

Với \(n \in {N^*}\), \(n > 1\) ta kiểm tra theo các bước sau:

- Tìm số nguyên tố k sao cho: \({k^2} \le n \le {\left( {k + 1} \right)^2}\)

- Kiểm tra xem n có chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng k không?

+) Nếu có chia hết thì n là số hợp số

+) Nếu không chia hết thì n là hợp số

Bài 1: Tìm số tự nhiên n, sao cho

a. \(\left( {2n + 5} \right)\left( {3n + 1} \right)\) là số nguyên tố

b. \(\left( {n - 2} \right)\left( {{n^2} + n + 7} \right)\) là số nguyên tố

c. \(\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + n + 7} \right)\) là số nguyên tố

d. \({n^2} - 1\) là số nguyên tố

Lời giải

a. Nếu \(n \ge 1 \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2n + 5 > 1}\\{3n + 1 > 1}\end{array}} \right. \to \left( {2n + 5} \right)\left( {3n + 1} \right)\) là hợp số

Nếu \(n = 0 \to \left( {2n + 5} \right)\left( {3n + 1} \right) = 5\) là số nguyên tố. Vậy \(n = 0\)

b. \(n = 0 \to A = 3\left( {tm} \right)\); \(n = 1 \to A =  - 1\left( {loai} \right)\); \(n = 2 \to A = 0\left( {loai} \right)\); \(n = 3 \to A = 11\left( {tm} \right)\)

+) \(n > 3 \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{n - 2 \ge 2}\\{{n^2} + n - 1 = n\left( {n + 1} \right) - 1 > 1}\end{array}} \right. \to lahopso\) là hợp số

Vậy \(n = 0\) hoặc \(n = 3\).

c. \(n = 0\)(t/m); \(n \ge 1\left( {loai} \right)\)

d. Ta có: \({n^2} - 1 = \left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right) \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{n \ge 3\left( {loai} \right)}\\{n = 2\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\)

Bài 2: Nếu p là số nguyên tố thì

a. \({p^2} + p + 2\) là số nguyên tố hay hợp số

b. \({p^2} + 200\) là số nguyên tố hay hợp số

Lời giải

a. Ta có: \({p^2} + p + 2 = \underbrace {p\left( {p + 1} \right)}_{chan} + 2 \to \) là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số

b.

- Với \(p = 2 \to {p^2} + 200\) là số chẵn \( \to {p^2} + 200\) là hợp số

- Với \(p = 3 \to 2009 \vdots 7 \to \) là số chẵn \( \to {p^2} + 200\) là hợp số

- Với \(p > 3 \to \left. {\begin{array}{*{20}{c}}{{p^2} \vdots 3.du.1}\\{2000 \vdots 3.du.2}\end{array}} \right\} \to {p^2} + 2000 \vdots 3 \to {p^2} + 200\) là hợp số

Vậy \({p^2} + 200\) luôn là hợp số

Bài 3: Chứng minh rằng nếu một số tự nhiên A có đúng 3 ước số phân biệt thì A sẽ là bình phương của một số nguyên tố

Lời giải

Giả sử \(A = p_1^{{n_1}}.p_2^{{n_2}}...p_k^{{n_k}}\)

Trong đó: \({p_1},{p_2},...,{p_k}\) là số nguyên tố; \({n_1},{n_2},...,{n_k} \in {N^*}\)

\( \to \) Số ước số của A là: \(\left( {{n_1} + 1} \right)\left( {{n_2} + 1} \right)...\left( {{n_k} + 1} \right) = S\left( A \right)\)

- Nếu

\(\begin{array}{l}k \ge 2 \to S\left( A \right) \ge \left( {{n_1} + 1} \right)\left( {{n_2} + 1} \right) \ge 2.2 = 4 > 3\left( {loai} \right)\\ \to S\left( A \right) = {n_1} + 1 = 3 \to {n_1} = 2\end{array}\)

Vậy \(A = p_1^2\left( {dpcm} \right)\)

Bài 4: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:

a) 3.4.5 + 6.7

b) 5.7.9.11.13 – 2.3.7

c) 5.7.11 + 13.17.19

d) 4253 + 1422

Lời giải

a) Ta có: \(5.6.7 + 8.9 = 3\left( {5.2.7 + 8.3} \right) \vdots 3 \to \) tổng trên là hợp số

b) Ta có: \(5.7.9.11.13 - 2.3.7 = 7\left( {5.9.11.13 - 2.3} \right) \vdots 7 \to \) tổng trên là hợp số

c) Ta có: \(5.7.11\) là 1 số lẻ, và \(13.17.19\) cũng là 1 số lẻ, nên tổng là số chẵn \( \vdots 2 \Rightarrow \) Là hợp số

d) Ta có: \(4253 + 1422\) có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, Vậy tổng trên là hợp số

Bài 6: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:

a) \(17.18.19.31 + 11.13.15.23\)

b) \(41.43.45.47 + 19.23.29.31\)

c) \(987654 + 54321\)

Lời giải

a) Ta có: \(17.18.19.31 + 11.13.15.23 = 3\left( {17.6.19.31 + 11.13.5.23} \right) \vdots 3 \to \) là hợp số

b) Ta có: 41.43.45.47 là số lẻ, 19.23.29.31 là số lẻ, nên tổng là số chẵn nên là hợp số

c) Ta có: 987654 + 54321 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, là hợp số

Bài 7: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số: 1.2.3…n + 1

Lời giải

Xét \(n = 3 \Rightarrow 1.2.3 + 1 = 7\) là số nguyên tố

Xét \(n = 4 \Rightarrow 1.2.3.4 + 1 = 25\) là hợp số. Vậy không kết luận được

Bài 8: Cho \(a = 2.3.4.5...2008\)a. Hỏi 2007 số tự nhiên liên tiếp sau có đều là hợp số không \(a + 2,\)\(a + 3\), \(a + 4\), …, \(a + 2008\)

Lời giải

Ta có: 2007 số trên đều là hợp số vì chúng lần lượt chia hết cho 2; 3; 4;…;2008, Và lớn hơn 2

Bài 9: Tìm số tự nhiên k để 3.k là số nguyên tố, 7.k là số nguyên tố

Lời giải

- Vì 3.k chia hết cho 3, nên để là số nguyên tố thì 3k chỉ có 2 ước là 1 và chính nó, Vậy k = 1

- Vì 7.k chia hết cho 7, nên để là số nguyên tố 7k chỉ có 2 ước là 1 và chính nó, Vậy k = 7

Bài 2: PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ ĐỂ TÌM SỐ NGUYÊN TỐ

A. Bài toán: Tìm số nguyên tố p để 2 hoặc nhiều số phụ thuộc vào p cũng là số nguyên tố

- Tính chất: Cho p là một số nguyên tố, k là số tự nhiên khác 0, k không chia hết cho q. Khi đó mọi dãy số cách đều gồm bốn số hạng, khoảng cách giữa các số hạng bằng k thì tồn tại duy nhất 1 số chia hết q.

Vd: \(q = 2\), \(k = 3\) (k không chia hết cho q)

\(n;n + 3\)

+) \(q = 5\), \(k = 4\)

\(n,\) \(n + 4,\)\(n + 8,\)\(n + 12,\) \(n + 16\) \( \to \left\{ {7,11,15,19,23} \right\}\)

B. Bài tập

Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng đồng thời là số nguyên tố

a. \(p + 2\) và \(p + 10\)

b. \(p + 4\) và \(p + 8\)

c. \(p + 10\) và \(p + 20\)

d. \(p + 8\) và \(p + 10\)

e. \(p + 10\) và \(p + 14\)

Lời giải

a. Ta có: p + 2, p + 10 là số nguyên tố

Xét dãy số: p + 2, p + 6, p + 10 luôn tồn tại một số chia hết cho 3

Mà: \(p + 2 \ge 4\)

\(P + 2\) và \(p + 10\) là số nguyên tố > 3 \( \to p + 2 \vdots /3\); \(p + 10 \vdots /3 \to p + 6 \vdots 3 \to p \vdots 3 \to p = 3\)

Thử lại: \(p + 2 = 5\), \(p + 10 = 13\) là các số nguyên tố.

b. Xét dãy số : \(p + 10\); \(\underbrace {p + 15}_{ \vdots 3 \to p = 3}\); \(p + 20\)

c. \(p + 10\); \(p + 12\); \(p + 14\)

d. \(p + 4\); \(p + 6\); \(p + 8\)

d. \(p + 8\); \(p + 9\); \(p + 10\)

Bài 2: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp và đều là các số nguyên tố

Lời giải

Gọi ba STN thoả mãn bài toán là : \(p\); \(p + 2\); \(p + 4\) (p lẻ)

Trong ba số \(p\), \(p + 2\), \(p + 4\) có duy nhất 1 số chia hết cho 3

Có số 3 là số nguyên tố duy nhất chia hết cho 3

Bài 3: Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau đồng thời là số nguyên tố

a. \(p + 2;p + 6;p + 8;p + 14\)

b. \(p + 6;p + 8;p + 12;p + 14 \to \bmod :5\)

c. \(p + 4;p + 6;p + 10;p + 16;p + 22\)

Lời giải

a. Xét dãy số: \(p;p + 2;p + 4;p + 6;p + 8 \to \) tồn tại 1 số chia hết cho 5

+) \(p = 2 \to p + 2 = 4 \to loai\)

+) \(p = 3 \to p + 6 = 9 \to loai\)

+) \(p \ge 5 \to \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{p \vdots 5 \to p = 5}\\{p + 4 \vdots 5 \to p + 14 \vdots 5\left( {loai} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow p = 5\)

b. \(p + 6;p + 8;p + 10;p + 12;p + 14\)

c. \(p;p + 2;p + 4;p + 6;p + 8;p + 10;p + 12\)

+) \(p = 2,3,5\) (loại)

+) \(p \ge 7 \to \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{p + 2 \vdots 7 \to p + 16 \vdots 7\left( {loai} \right)}\\{p + 8 \vdots 7 \to p + 22 \vdots 7\left( {loai} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow p = 7\) thử lại đúng

Bài 4: Tìm số nguyên tố p sao cho

a. \({p^2} - 4;{p^2} + 4\) đều là các số nguyên tố

b. \(p + 94;p + 1994\) là các số nguyên tố

Lời giải