Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề Phép chia hết, phép chia có dư, tài liệu bao gồm 27 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu gồm có:

I. Lý thuyết

II. Bài tập

CHUYÊN ĐỀ: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ

BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH THỪA SỐ ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN CHIA HẾT

A. LÝ THUYẾT

1. Phép chia hết

Với a, b số TN và b khác 0. Ta nói a chia hết b nếu tồn tại số TN q sao cho a = b.q

2. Tính chất chung

\(a \vdots b\) và \(b \vdots c\) thì \(a \vdots c\)

\(a \vdots a\) với mọi a khác 0

\(0 \vdots b\) với mọi b khác 0

Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1

3. Tính chất chia hết của tổng, hiệu

- Nếu a, b cùng chia hết cho m thì a + b chia hết cho m và a – b chia hết cho m

- Tổng của 2 số chia hết cho m và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m

- Nếu 1 trong 2 số a, b chia hết cho m số kia không chia hết cho m thì tổng, hiệu của chúng không chia hết cho m

4. Tính chất chia hết của 1 tích

- Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m

- Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n

- Nếu a chia hết cho b thì \({a^n} \vdots {b^n}\)

*) Chú ý

+) \({a^n} - {b^n} \vdots \left( {a - b} \right)\forall n \ge 2\)

+) \({a^n} - {b^n} \vdots \left( {a + b} \right)\forall n\) chẵn

B. BÀI TẬP

Bài 1: Chứng minh rằng

a. \(A = {27^{27}} + {3^{77}}\) chia hết cho 82

b. \(B = \overline {abcabc} \left( {a \ne 0} \right) \vdots 7,11,13\)

Lời giải

a. \(A = {\left( {{3^3}} \right)^{27}} + {3^{77}} = {3^{81}} + {3^{77}} = {3^{77}}\left( {{3^4} + 1} \right) = {82.3^{77}} \vdots 82\)

b. \(\overline {abcabc}  = \overline {abc000}  + \overline {abc} \)

\( = 1000.\overline {abc}  + \overline {abc}  = 1001.\overline {abc}  = 7.11.13.\overline {abc} \) (dpcm)

Bài 2: Chứng minh rằng

a. \({5^5} - {5^4} + {5^3} \vdots 7\)

b. \({10^6} - {5^7} \vdots 59\)

c. \({81^7} - {27^9} - {9^{13}} \vdots 45\)

d. \({10^9} + {10^8} + {10^7} \vdots 555\) và 222

e. \({3^{n + 2}} - {2^{n + 2}} + {3^n} - {2^n} \vdots 10\)

f. \({16^5} + {2^{15}} \vdots 33\)

Lời giải

a. \({5^5} - {5^4} + {5^3} = {5^3}\left( {{5^2} - 5 + 1} \right) = {5^3}.21 \vdots 7\)

b. \({10^6} - {5^7} = {\left( {2.5} \right)^6} - {2^7} = {59.5^6} \vdots 59\)

c. \({81^7} - {27^9} - {9^{13}} = {3^{28}} - {3^{27}} - {3^{26}}\)

\( = {3^{26}}\left( {{3^2} - 3 - 1} \right) = {5.3^{26}} \vdots {5.3^2}\)

d.

\[\begin{array}{l}{10^9} + {10^8} + {10^7} = {10^7}\left( {{{10}^2} + 10 + 1} \right)\\ = {111.10^7} = 111.{\left( {2.5} \right)^7} = {222.2^6}{.5^7} \vdots 222\left( { = {{555.2}^7}{{.5}^6} \vdots 555} \right)\end{array}\]

e.

\(\begin{array}{l}{3^{n + 2}} - {2^{n + 2}} + {3^n} - {2^n}\\ = {3^n}\left( {{3^2} + 1} \right) - {2^n}\left( {{2^2} + 1} \right) = {10.3^n} - {5.2^n}\end{array}\)

f. \({16^5} + {2^{15}} = {2^{20}} + {2^{15}} = {2^{15}}\left( {{2^5} + 1} \right) = {32.2^{15}} \vdots 33\)

Bài 3: Cho \(A = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{99}}\) hoặc \( = {2^{100}} - 1\). Chứng minh rằng: A chia hết cho 3, 15, 31

Lời giải

A có 100 số hạng

a.

\(\begin{array}{l}A = \left( {1 + 2} \right) + \left( {{2^2} + {2^3}} \right) + ... + \left( {{2^{98}} + {2^{99}}} \right)\\ = 3 + {2^2}\left( {1 + 2} \right) + ... + {2^{98}}\left( {1 + 2} \right)\\ = 3.\left( {1 + {2^2} + {2^4} + ... + {2^{98}}} \right) \vdots 3\end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l}A = \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + \left( {{2^4} + {2^5} + {2^6} + {2^7}} \right) + ... + \left( {{2^{96}} + ... + {2^{99}}} \right)\\ = 15\left( {1 + {2^4} + ... + {2^{96}}} \right) \vdots 15\end{array}\)

Bài 4: Cho \(M = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{118}} + {3^{119}}\). CMR: \(M \vdots 13\)

Lời giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}M = \left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + \left( {{3^2} + {3^4} + {3^5}} \right) + ... + \left( {{3^{117}} + {3^{118}} + {3^{119}}} \right)\\ = \left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + {3^3}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + ... + {3^{117}}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\end{array}\)

\( = 13 + {3^3}.13 + ... + {13.3^{117}} = 13.\left( {1 + {3^3} + ... + {3^{117}}} \right) \vdots 13\)

Bài 5: a. Chứng minh rằng: Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 còn tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4

b. Tổng của 5 số chẵn liên tiếp chia hết cho 10, tổng của 5 số lẻ liên tiếp chia 10 dư 5.

Lời giải

a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{n + n + 1 + n + 2 = \left( {3n + 3} \right) \vdots 3\forall n \in N}\\{4n + 6 \vdots /4\forall n \in N}\end{array}} \right.\)

b.

\(\begin{array}{l}2k + 2k + 2 + 2k + 4 + 2k + 6 + 2k + 8\\ = 10k + 20 \vdots 10\forall k \in N\end{array}\)

Bài 6: Cho \(S = {3^2} + {3^4} + ... + {3^{998}} + {3^{1000}}\)

a. Tính S

b. Chứng minh rằng: S chia cho 7 dư 6

Lời giải:

a. \(S = {3^2} + {3^4} + ... + {3^{998}} + {3^{1000}}\) (100sohang)

\(\begin{array}{l}{3^2}.S = {3^4} + {3^6} + ... + {3^{998}} + {3^{1000}} + {3^{1002}}\\ \Rightarrow \left( {{3^2} - 1} \right).S = {3^{1002}} - {3^2} \Rightarrow S = \frac{{{3^{1002}} - {3^2}}}{{{3^2} - 1}}\end{array}\)

b. Nhóm 3 hạng tử với nhau vậy dư 2 hạng tử

\(S = \underbrace {\left( {{3^2} + {3^4}} \right)}_{ = 90 \vdots 7du6} + \underbrace {\left( {{3^6} + {3^8} + {3^{10}}} \right)}_{ \vdots 7} + ... + \underbrace {\left( {{3^{96}} + {3^{98}} + {3^{100}}} \right)}_{ \vdots 7}\)

c.

\(\begin{array}{l}A = \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4}} \right) + ... + \left( {{2^{95}} + ... + {{22}^{99}}} \right)\\ = 31\left( {1 + {2^5} + {2^9} + ... + {2^{95}}} \right) \vdots 31\end{array}\)

Bài 7: Cho \(B = 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{100}}\) ( có 100 số hạng)

a. Chứng minh rằng B chia hết cho 120

b. Tìm số dư khi B cho 82

Lời giải:

a. \(B = \underbrace {3 + {3^2} + {3^3} + {3^4}}_{ \vdots 120} + ... + \underbrace {\left( {{3^{97}} + {3^{98}} + {3^{99}} + {3^{100}}} \right)}_{ \vdots 120}\)

b. Nhận xét: \({3^0} + {3^4} = 82\)

Tổng hai luỹ thừa cách 4 số hạng chia hết cho 82

 Ta nhóm 8 số hạng một nhóm  dư 4 số hạng

Lời giải:

\(B = (3 + {3^2} + {3^3} + {3^4}) + \left( {{3^5} + {{...3}^{12}}} \right) + ... + \left( {{3^{93}} + ... + {3^{100}}} \right)\)

Ta đi chứng minh: \({3^k} + {3^{k + 1}} + ... + {3^{k + 7}} \vdots 82\)

Thật vậy:

\(\begin{array}{l}\left( {{3^k} + {3^{k + 4}}} \right) + \left( {{3^{k + 1}} + {3^{k + 5}}} \right) + \left( {{3^{k + 3}} + {3^{k2 + 7}}} \right)\\ = \left( {{3^k} + {3^{k + 1}} + {3^{k + 2}} + {3^{k + 3}}} \right)\left( {1 + {3^4}} \right) \vdots 82\left( {dung} \right)\end{array}\)

Vậy số dư khi chia B cho 82 là số dư của 4 hạng tử còn lại là: \(3 + {3^2} + {3^3} + {3^4}\) cho 82.

Kết luận: số dư là 38

Bài 8: Chứng minh rằng:

a. Nếu \(\overline {ab}  + \overline {cd}  + \overline {eg} \)chia hết cho 11 thì \(\overline {abc\deg } \) cũng chia hết cho 11, điều ngược lại có đúng không?

b. Nếu \(\overline {abc}  - \overline {\deg }  \vdots 7\) thì \(\overline {abc\deg } \) cũng chia hết cho 7

Lời giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}\overline {abc\deg }  = 10000.\overline {ab}  + 100.\overline {cd}  + eg\\ = \underbrace {9999.\overline {ab} }_{ \vdots 11} + \underbrace {99.\overline {cd} }_{ \vdots 11} + \underbrace {\overline {ab}  + \overline {cd}  + \overline {eg} }_{ \vdots 11}\\ \Rightarrow \overline {abc\deg }  \vdots 11\end{array}\]

Điều ngược lại cũng đúng.

Bài 9: Cho n là STN khác 0, CMR: \({n^3} + {\left( {n + 1} \right)^3} + {\left( {n + 2} \right)^3} \vdots 9\)

Lời giải:

\(A = \underbrace {3n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)}_{ \vdots 3} + \underbrace {9{n^2} + 18n + 9}_{ \vdots 9}\) (dpcm)

Bài 10: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho khi viết tiếp số đó vào 2015 ta được một số chia hết cho 113

Lời giải:

Giả sử n có k chữ số

Theo bài ra ta có: \(\overline {2015n}  \vdots 113\)

Có :

\(\begin{array}{l}\overline {2015n}  = 2015.\underbrace {{{10}^k}}_{kchuso0} + n = \left( {17.13 + 94} \right){.10^k} + n\\ \Rightarrow \overline {2015n}  \vdots 13 \Leftrightarrow {94.10^k} + n \vdots 113\left( 1 \right)\end{array}\)

+) Nếu \(k = 1 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow 94.10 + n \vdots 113\)

\( \Leftrightarrow 8.113 + 36 + n \vdots 113 \Leftrightarrow 36 + n \vdots 113\)

Mà \(0 < n \le 9 \Rightarrow 36 + n \vdots /113\left( {loai} \right)\)

+) Nếu \(k = 2 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {94.10^2} + n \vdots 113\)

\( \Leftrightarrow 8.113 + 21 + n \vdots 113 \Leftrightarrow 21 + n \vdots 113\)

Mà \(10 \le n \le 99 \Rightarrow 21 + n = 113 \Leftrightarrow n = 92\)

Vậy n = 92.

Bài 11: Cho \(C = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{11}}\), CMR:

a. C chia hết cho 13

b. C chia hết cho 40

Lời giải:

a.

\(\begin{array}{l}C = \left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + \left( {{3^3} + {3^4} + {3^5}} \right) + ... + \left( {{3^9} + {3^{10}} + {3^{11}}} \right)\\ = 13\left( {1 + {3^3} + ... + {3^9}} \right) \vdots 13\end{array}\)

b. Nhóm 4 số hạng \( = 40\left( {1 + {3^4} + {3^8}} \right)\) chia hết cho 40 (đpcm)

Bài 12: Chứng minh rằng, nếu: \(\overline {abc}  \vdots 37\) thì \(\overline {bca} \); \(\overline {cab} \) đều chia hết cho 37

Lời giải:

\(\begin{array}{l}A = \overline {abc}  = (a{.10^2} + b.10 + c) \vdots 37\\ \Rightarrow 10A = \left( {a{{.10}^3} + b{{.10}^2} + 10.c} \right) \vdots 37\\ \Rightarrow 10A = 1000a + {10^2}b + 10.c\end{array}\)

\(10A = \underbrace {{{10}^2}b + 10c + a}_{\overline {bca} } + 999a = \overline {bca}  + \underbrace {999a}_{37.27.a}\)

Tương tự: \(10\overline {bca}  \vdots 37\); \(999b \vdots 37 \Rightarrow \overline {cab}  \vdots 37\)

Bài 13: a. Chứng tỏ rằng: \({2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}} \vdots 3\)

b. Tìm số dư khi chia tổng \({2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\)  cho 7

c. \(S = {3^1} + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{1997}} + {3^{1998}} \vdots 26\)

Lời giải:

a.

\(\begin{array}{l}{2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\\ = \left( {{2^1} + {2^2}} \right) + ...\left( {{2^{99}} + {2^{100}}} \right) = {2^1}\left( {1 + 2} \right) + ... + {2^{99}}\left( {1 + 2} \right)\\ = 3\left( {{2^1} + {2^3} + ... + {2^{999}}} \right) \vdots 3\end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} = {2^1} + \left( {{2^2} + {2^3} + {2^4}} \right) + \left( {{2^5} + {2^6} + {2^7}} \right) + ...\left( {{2^{98}} + {2^{99}} + {2^{100}}} \right)\\ = 2 + 7.\left( {{2^2} + {2^5} + ... + {2^{98}}} \right)\end{array}\)

 chia 7 dư 2.

c. Ta có: \(26 = 13.2\), ta đi chứng minh S chia hết cho 13 và 2

Ta có: S có 1998 số hạng, chia ra làm 666 nhóm

\(\begin{array}{l}S = \left( {{3^1} + {3^2} + {3^3}} \right) + ... + \left( {{3^{1996}} + {3^{1997}} + {3^{1998}}} \right)\\ = 13.\underbrace {\left( {{3^1} + {3^4} + ... + {3^{1996}}} \right)}_{666sohanglachan \vdots 2} \Rightarrow S \vdots 13.2 = 26\end{array}\)

Bài 14: Chứng minh rằng: \(A = {10^n} + 72n - 1\) chia hết cho 81

Lời giải:

\(\begin{array}{l}A = {10^n} - 1 + 72n = \left( {10 - 1} \right)\left( {{{10}^{n - 1}} + {{10}^{n - 2}} + ... + 10 + 1} \right)\\ = 9\left( {{{10}^{n - 1}} + {{10}^{n - 2}} + ... + 10 + 1} \right) - 9n + 81n\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = 9\left( {{{10}^{n - 1}} + ... + 10 + 1 - n} \right) + 81n\\ = 9\left[ {\left( {{{10}^{n - 1}} - 1} \right) + \left( {{{10}^{n - 2}} - 1} \right) + ... + (1 - 1)} \right] + 81n\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{10^k} - 1 = \left( {10 - 1} \right)\left( {{{10}^{k - 1}} + ... + 10 + 1} \right) \vdots 9\\ \Rightarrow 9\left[ {\left( {{{10}^{n - 1}} - 1} \right) + \left( {{{10}^{n - 2}} - 1} \right) + ...\left( {1 - 1} \right)} \right] \vdots 81\end{array}\)

\(9\left[ {\left( {{{10}^{n - 1}} - 1} \right) + \left( {{{10}^{n - 2}} - 1} \right) + ...\left( {1 - 1} \right)} \right] + 81n \vdots 81 \Rightarrow A \vdots 81\)

Bài 15: Chứng minh rằng \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {100^3}\) chia hết cho \(B = 1 + 2 + ...100\)

Lời giải:

Ta có: \(B = (1 + 100) + (2 + 99) + ... + \left( {50 + 51} \right) = 101.50\)

Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101

\(\begin{array}{l}A = ({1^3} + {100^3}) + \left( {{2^3} + {{99}^3}} \right) + ...\left( {{{50}^3} + {{51}^3}} \right)\\ = \left( {1 + 100} \right)\left( {{1^2} + 100 + {{100}^2}} \right) + \left( {2 + 99} \right)\left( {{2^2} + 2.99 + {{99}^2}} \right) + ... + \end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left( {50 + 51} \right)\left( {{{50}^2} + 50.51 + {{51}^2}} \right)\\ = 101\left( {{1^2} + 100 + {{100}^2} + {2^2} + 2.99 + {{99}^2} + ... + {{50}^2} + 50.51 + {{51}^2}} \right) \vdots 101\left( 1 \right)\end{array}\)