Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề 5 - Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức, tài liệu bao gồm 3 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tóm tắt tài liệu

Kiến thức vận dụng và bài tập vận dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Chuyên đề 5: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1. Các kiến thức vận dụng:

*${\text{a}}^{\text{2}}{\text{+2.ab+b}}^{\text{2}}{\text{=(a+b)}}^{\text{2}}\ge \text{0}$ với mọi a,b

*${\text{a}}^{\text{2}}{\text{-2.ab+b}}^{\text{2}}{\text{=(a-b)}}^{\text{2}}\ge \text{0}$với mọi a,b

${\text{*A}}^{\text{2n}}\ge \text{0}$ với mọi A, ${\text{-A}}^{\text{2n}}\le \text{0}$ với mọi A

$*\left|A\right|\ge 0,\forall A,|-A|\le 0,\forall A$

$*\left|A\right|+\left|B\right|\ge |A+B|,\forall A,B$ dấu “=”  xẩy ra khi $\text{A,B}\ge \text{0}$

$*\left|A\right|-\left|B\right|\ge |A-B|,\forall A,B$ dấu “=”  xẩy ra khi $\text{A,B}\ge \text{0}$

2. Bài tập vận dụng:

* Dạng vận dụng đẳng thức:${\text{a}}^{\text{2}}{\text{+2.ab+b}}^{\text{2}}{\text{=(a+b)}}^{\text{2}}\ge \text{0}$ với mọi a,b và${\text{a}}^{\text{2}}{\text{-2.ab+b}}^{\text{2}}{\text{=(a-b)}}^{\text{2}}\ge \text{0}$ với mọi a, b

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:

a) P(x)= 2x² – 4x +2012

b) Q(x)=x²+100x – 1000

HD: a) P(x)= 2x² – 4x +2012=2(x² – 2.x. +1²) +2010=2(x – 1)²+2010

Do \({(x - 1)^2} \ge 0\) với mọi x, nên \(P(x) \ge 2010\). Vậy Min P(x) =2010 khi (x – 1)²=0 hay x=1

b) Q(x) = x²+100x – 1000 =(x+50)² – 3500 \( \ge \) - 3500 với mọi x

Vậy Min Q(x) = - 3500

Từ đây ta có bài toán tổng quát: Tìm GTNN của đa thức P(x) =ax² +bx+c (a>0)

HD: P(x)= ax²+bx +c = \(a({x^2} + 2.x.\frac{b}{{2a}} + {(\frac{b}{{2a}})^2}) + (c - \frac{{{b^2}}}{{4a}})\)

\( = a{(x + \frac{b}{{2a}})^2} + (\frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}) \ge \frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}},\forall x\).

 Vậy MinP(x)=\(\frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}\)khi \(x =  - \frac{b}{{2a}}\)

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a)A= - a² +3a+4

b)B= 2x – x²

HD: a) A= - a² +3a+4= \( - ({a^2} - 2.a.\frac{3}{2} + {(\frac{3}{2})^2}) + (4 + \frac{9}{4}) =  - {(a - \frac{3}{2})^2} + \frac{{25}}{4}\)

Do \( - (a - \frac{3}{2}) \le 0,\forall a\) nên \(A \le \frac{{25}}{4},\forall a\). Vậy \[MaxA = \frac{{25}}{4}\]khi \(a = \frac{3}{2}\)

c) B= 2x – x²= - (x² – 2x.1 +1²)+1= - (x -1)²+1.

Do \( - (x - 1) \le 0,\forall x \Rightarrow B \le 1,\forall x\)

Vậy Max B= 1 khi x = 1

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a) \(P = \frac{{2012}}{{{x^2} + 4x + 2013}}\)

b)\(Q = \frac{{{a^{2012}} + 2013}}{{{a^{2012}} + 2011}}\)

* Dạng vận dụng \({A^{2n}} \ge 0\)với mọi A, \( - {A^{2n}} \le 0\)với mọi A

Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức:

a) P= (x – 2y)²+ (y – 2012 )²⁰¹²

b) Q= (x+y – 3)⁴+(x – 2y)²+2012

HD: a) Do \((x - 2y) \ge 0,\forall x,y\) và \({(y - 2012)^{2012}} \ge 0,\forall y\)suy ra: \(P \ge 0\)với mọi x, y

\( \Rightarrow MinP = 0khi\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\y - 2012 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4024\\y = 2012\end{array} \right.\)

b) Ta có \({(x + y - 3)^4} \ge 0\forall x,y\) và \({(x - 2y)^2} \ge 0\forall x,y\) suy ra: \(Q \ge 2012\)với mọi x, y

\( \Rightarrow MinQ = 2012khi\left\{ \begin{array}{l}{(x + y - 3)^2} = 0\\{(x - 2y)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)

Bài 3: Tìm GTLN của \(R = \frac{{2013}}{{{{(x - 2)}^2} + {{(x - y)}^4} + 3}}\)

Bài 4: Cho phân số: \(C = \frac{{3|x| + 2}}{{4|x| - 5}}(x \in \mathbb{Z})\)

a) Tìm \(x \in \mathbb{Z}\)để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.

b) Tìm \(x \in \mathbb{Z}\)để C là số tự nhiên.

HD:

\(\begin{array}{l}C = \frac{{3|x| + 2}}{{4|x| - 5}} = \frac{3}{4}.\frac{4}{3}.\frac{{(3|x| + 2)}}{{(4|x| - 5)}}\\ = \frac{3}{4}.\frac{{12|x| + 8}}{{12|x| - 15}} = \frac{3}{4}.(1 + \frac{{23}}{{12|x| - 15}})\end{array}\)

C lớn nhất khi \(\frac{{23}}{{12|x| - 15}}\)lớn nhất \( \Rightarrow 12|x| - 15\)nhỏ nhất và 12|x| - 15 >0 \( \Rightarrow x = 2\)

Vậy \(Maxc = \frac{3}{4}(1 + \frac{{23}}{9}) = \frac{8}{3}\)khi x=2

Bài 5: Tìm số tự nhiên n để phân số \(\frac{{7n - 8}}{{2n - 3}}\)có giá trị lớn nhất

HD: Ta có \(\frac{{7n - 8}}{{2n - 3}} = \frac{7}{2}.\frac{{2(7n - 8)}}{{7(2n - 3)}} = \frac{7}{2}.\frac{{14n - 16}}{{14n - 21}} = \frac{7}{2}.(1 + \frac{5}{{14n - 21}})\)

Để \(\frac{{7n - 8}}{{2n - 3}}\)lớn nhất thì \(\frac{5}{{14n - 21}}\)lớn nhất \( \Leftrightarrow 14n - 21 > 0\)và 14n – 21 có giá trị nhỏ nhất \( \Rightarrow n > \frac{{21}}{{14}} = \frac{3}{2}\)và n nhỏ nhất \( \Rightarrow n = 2\)

* Dạng vận dụng \(|A| \ge 0,\forall A, - |A| \le 0,\forall A\)

\(|A| + |B| \ge |A + B|,\forall A,B\) dấu”=” xẩy ra khi \(A,B \ge 0\)

\(|A| - |B| \le |A - B|,\forall A,B\) dấu”=” xẩy ra khi \(A,B \ge 0\)

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) A= (x – 2)²+|y – x|+3

b) \(B = \frac{{2011}}{{2012 - |x - 2010|}}\)

HD: a) ta có \({(x - 2)^2} \ge 0\) với mọi x và \(|y - x| \ge 0\) với mọi x, y \( \Rightarrow A \ge 3\)với mọi x, y

Suy ta A nhỏ nhất =3 khi \(\left\{ \begin{array}{l}{(x - 2)^2} = 0\\|y - x| = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\)

b) Ta có \( - |x - 2010| \le 0\)với mọi x \( \Rightarrow 2012 - |x - 2010| \le 2012\) với mọi x

\( \Rightarrow B \Rightarrow B \le \frac{{2011}}{{2012}}\)với mọi x, suy ra Min \(B = \frac{{2011}}{{2012}}\)khi x=2010

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

a) A=|x – 2011| + |x – 2012 |

b) B=|x – 2010 |+|x – 2011|+|x – 2012|

c) C= |x – 1|+|x – 2|+…||x – 100|

HD: a) Ta có A=|x – 2011| + |x – 2012 | =\(|x - 2011| + |2012 - x| \ge |x - 2011 + 2012 - x| = 1\) với mọi x          \[\]

\( \Rightarrow A \ge 1\)với x.

Vậy Min A =1 Khi \((x - 2011)(2012 - x) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 2011 \le x \le 2012\)

b) ta có B=|x – 2010|+|x – 2011|+|x – 2012|

=(|x – 2010|+|2012 – x|)+|x – 2011|

Do\(|x - 2010| + |2012 - x| \ge |x - 2010 + 2012 - x| = 2\)với mọi x(1)

Và \(|x - 2011| \ge 0\)với mi=ọi x (2)

Suy ra \(B = (|x - 2010| + |2012 - x|) + |x - 2011| \ge 2\).

Vậy Min B=2 khi BĐT (1) và (2) xẩy ra dấu “=” hay \(\left\{ \begin{array}{l}(x - 2010)(2012 - x) \ge 0\\x - 2011 = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = 2011\)

c) Ta có

|x – 1|+|x – 2|+…||x – 100|=(|x – 1|+|100 – x|)+(|x – 2|+|99 – x|)+…+(|x – 50|+|56 – x|)\( \ge \)|x – 1+100 – x|+|x – 2+99 – x |+…+|x – 50 +56 – x| =99+97+…+1=2500

Suy ra \(C \ge 2050\)với mọi x. Vậy Min C=2500 khi

\(\left\{ \begin{array}{l}\\(x - 1)(100 - x) \ge 0\\(x - 2)(99 - x) \ge 0\\..............................\\(x - 50)(56 - x) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 100\\2 \le x \le 99\\.................\\50 \le x \le 56\end{array} \right. \Leftrightarrow 50 \le x \le 56\)