Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức lớp 7
Lớp 7Toán

Chuyên đề tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức lớp 7 có đáp án

Trả lời nhanh

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức ở lớp 7, em dùng hai bất đẳng thức cơ bản: (A)2 ≥ 0 và |A| ≥ 0. Đánh giá biểu thức ≥ một hằng số m, rồi chỉ ra giá trị của biến để dấu “=” xảy ra. Khi đó GTNN bằng m. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) làm tương tự theo chiều ngược lại: biểu thức ≤ M.

1. Kiến thức cần nhớ

Muốn nói “biểu thức A có giá trị nhỏ nhất bằng m” em phải làm đủ hai việc: (1) chứng minh A ≥ m với mọi giá trị của biến; (2) chỉ ra có giá trị của biến để A = m. Thiếu việc thứ hai là bài làm chưa hoàn chỉnh.

  • Bình phương: (A)2 ≥ 0, dấu “=” khi A = 0. Tổng quát, lũy thừa bậc chẵn của một số luôn không âm.
  • Giá trị tuyệt đối: |A| ≥ 0, dấu “=” khi A = 0.
  • Nếu A ≥ 0 thì −A ≤ 0. Vì vậy m − (A)2 ≤ m và m − |A| ≤ m.
  • Bất đẳng thức |A| + |B| ≥ |A + B|, dấu “=” khi A và B cùng dấu (tích A·B ≥ 0).
  • Với a, b ≥ 0 mà a ≥ b > 0 thì 1/a ≤ 1/b: mẫu càng lớn, phân số (tử dương) càng nhỏ.

Mẹo nhớ: “Bình phương và trị tuyệt đối là hai số hạng không âm. Cộng với số m thì nhỏ nhất bằng m; trừ khỏi số M thì lớn nhất bằng M.”

2. Các dạng bài thường gặp

Dạng 1: Một bình phương hoặc một giá trị tuyệt đối cộng (trừ) một số

Ví dụ 1. Tìm GTNN của A = (x − 3)2 + 5.

Vì (x − 3)2 ≥ 0 với mọi x nên A ≥ 5. Dấu “=” xảy ra khi x − 3 = 0, tức x = 3. Vậy GTNN của A bằng 5 khi x = 3.

Ví dụ 2. Tìm GTNN của B = |2x − 1| − 4.

Vì |2x − 1| ≥ 0 nên B ≥ −4. Dấu “=” khi 2x − 1 = 0, tức x = 1/2. Vậy GTNN của B là −4 khi x = 1/2.

Ví dụ 3. Tìm GTLN của C = 7 − (x + 2)2.

Vì (x + 2)2 ≥ 0 nên C ≤ 7. Dấu “=” khi x = −2. Vậy GTLN của C là 7 khi x = −2. Chú ý: biểu thức này không có GTNN vì (x + 2)2 lớn bao nhiêu cũng được.

Dạng 2: Tổng của nhiều số hạng không âm

Ví dụ 4. Tìm GTNN của D = (x − 1)2 + |y + 2| + 3.

Ta có (x − 1)2 ≥ 0 và |y + 2| ≥ 0 nên D ≥ 3. Dấu “=” xảy ra khi đồng thời x − 1 = 0 và y + 2 = 0, tức x = 1, y = −2. Vậy GTNN của D là 3 tại x = 1, y = −2.

Ví dụ 5. Tìm GTLN của E = 10 − |x + 3| − (y − 1)2.

Hai số hạng bị trừ đều không âm nên E ≤ 10. Dấu “=” khi x = −3 và y = 1. Vậy GTLN của E là 10.

Lưu ý: với tổng nhiều số hạng không âm, dấu “=” chỉ xảy ra khi tất cả các số hạng cùng bằng 0, nên phải kiểm tra các điều kiện có xảy ra đồng thời không.

Dạng 3: Đưa biểu thức về dạng bình phương

Với biểu thức có x2 và x, ta tách để xuất hiện (x − a)2 = x2 − 2ax + a2.

Ví dụ 6. Tìm GTNN của F = x2 − 4x + 7.

Ta viết F = (x2 − 4x + 4) + 3 = (x − 2)2 + 3. Vì (x − 2)2 ≥ 0 nên F ≥ 3, dấu “=” khi x = 2. Vậy GTNN của F là 3 khi x = 2.

Ví dụ 7. Tìm GTLN của G = −x2 + 6x − 5.

G = −(x2 − 6x + 9) + 4 = 4 − (x − 3)2 ≤ 4. Dấu “=” khi x = 3. Vậy GTLN của G là 4.

Kiểm tra nhanh: thay x = 3 vào G: −9 + 18 − 5 = 4. Đúng.

Dạng 4: Tổng các giá trị tuyệt đối |x − a| + |x − b|

Dạng này dùng |A| + |B| ≥ |A + B| sao cho khi cộng, biến x triệt tiêu.

Ví dụ 8. Tìm GTNN của H = |x − 1| + |x − 5|.

Ta có |x − 5| = |5 − x|. Khi đó H = |x − 1| + |5 − x| ≥ |(x − 1) + (5 − x)| = 4. Dấu “=” khi (x − 1)(5 − x) ≥ 0, tức 1 ≤ x ≤ 5. Vậy GTNN của H là 4 khi 1 ≤ x ≤ 5.

Em có thể hiểu hình học: H là tổng khoảng cách từ điểm x đến hai điểm 1 và 5 trên trục số. Tổng này nhỏ nhất bằng độ dài đoạn nối hai điểm, khi x nằm giữa.

Đồ thị H = |x - 1| + |x - 5| có đoạn nằm ngang ở mức 4 khi x từ 1 đến 5
Giá trị của H = |x − 1| + |x − 5| nhỏ nhất bằng 4 trên đoạn 1 ≤ x ≤ 5.

Ví dụ 9. Tìm GTNN của K = |x − 1| + |x − 2| + |x − 3|.

Tách riêng: |x − 1| + |x − 3| = |x − 1| + |3 − x| ≥ |2| = 2, dấu “=” khi 1 ≤ x ≤ 3. Còn |x − 2| ≥ 0, dấu “=” khi x = 2. Vì x = 2 thuộc đoạn [1; 3] nên hai dấu “=” xảy ra cùng lúc. Vậy K ≥ 2 và GTNN của K là 2 khi x = 2.

Mẹo: với ba số hạng |x − a| + |x − b| + |x − c| (a < b < c), ghép cặp ngoài cùng, còn số ở giữa cho x = b.

Dạng 5: Biểu thức dạng phân số

Ví dụ 10. Tìm GTLN của P = 8/(|x| + 2).

Vì |x| ≥ 0 nên |x| + 2 ≥ 2, suy ra P = 8/(|x| + 2) ≤ 8/2 = 4. Dấu “=” khi x = 0. Vậy GTLN của P là 4 khi x = 0.

Ví dụ 11. Tìm GTLN của Q = (|x| + 5)/(|x| + 2).

Tách phần nguyên: Q = (|x| + 2 + 3)/(|x| + 2) = 1 + 3/(|x| + 2). Vì |x| + 2 ≥ 2 nên 3/(|x| + 2) ≤ 3/2, do đó Q ≤ 1 + 3/2 = 5/2. Dấu “=” khi x = 0. Vậy GTLN của Q là 5/2.

Ví dụ 12. Tìm GTNN của R = 6/(3 − (x − 1)2) với điều kiện mẫu dương.

Mẫu dương nên 3 − (x − 1)2 > 0 và mẫu ≤ 3. Với tử dương, mẫu càng lớn thì R càng nhỏ. Mẫu lớn nhất là 3 khi x = 1, nên R ≥ 6/3 = 2. Vậy GTNN của R là 2 khi x = 1.

3. Bảng tóm tắt cách làm

Dạng biểu thức Đánh giá Kết luận
(A)2 + m hoặc |A| + m ≥ m GTNN = m khi A = 0
M − (A)2 hoặc M − |A| ≤ M GTLN = M khi A = 0
Tổng nhiều số hạng không âm + m ≥ m Tất cả số hạng cùng bằng 0
x2 ± bx + c Tách về (x ± a)2 + k GTNN = k
|x − a| + |x − b| ≥ |a − b| Dấu “=” khi x nằm giữa a và b
k/(biểu thức ≥ n), k > 0, n > 0 ≤ k/n GTLN khi mẫu nhỏ nhất

4. Lỗi sai thường gặp

  • Quên chỉ ra dấu “=”: chỉ viết A ≥ 5 rồi kết luận GTNN là 5 mà không chứng tỏ có x để A = 5.
  • Nhầm GTNN với GTLN: biểu thức 7 − (x + 2)2 chỉ có GTLN, không có GTNN.
  • Bỏ qua điều kiện đồng thời: ở tổng |x − 1| + |x − 3| + …, hai dấu “=” có thể không cùng xảy ra, khi đó giá trị đánh giá chưa phải GTNN.
  • Sai dấu khi tách bình phương: −x2 + 6x − 5 phải đặt dấu trừ ra ngoài: −(x2 − 6x + 9) + 4.
  • Đổi chiều bất đẳng thức với phân số: mẫu ≥ 2 thì phân số tử dương ≤ (không phải ≥) giá trị tại mẫu bằng 2.

5. Bài tập tự luyện (có đáp án)

  1. Tìm GTNN của A = (2x + 1)2 − 6.
  2. Tìm GTLN của B = 10 − |x + 3| − (y − 1)2… (đã dùng làm ví dụ) → thay bằng: Tìm GTLN của B = 4 − |x − 2| − 3(y + 1)2.
  3. Tìm GTNN của C = |x + 2| + |x − 7|.
  4. Tìm GTLN của D = 12/(2|x − 1| + 3).
  5. Tìm GTNN của E = x2 − 6x + 11.
  6. Tìm GTNN của S = |x| + |x − 4| + |x − 8|.

Đáp án và hướng dẫn

  1. (2x + 1)2 ≥ 0 nên A ≥ −6. GTNN là −6 khi x = −1/2.
  2. |x − 2| ≥ 0 và 3(y + 1)2 ≥ 0 nên B ≤ 4. GTLN là 4 khi x = 2, y = −1.
  3. C = |x + 2| + |7 − x| ≥ |x + 2 + 7 − x| = 9. GTNN là 9 khi −2 ≤ x ≤ 7.
  4. 2|x − 1| + 3 ≥ 3 nên D ≤ 12/3 = 4. GTLN là 4 khi x = 1.
  5. E = (x − 3)2 + 2 ≥ 2. GTNN là 2 khi x = 3.
  6. |x| + |8 − x| ≥ 8, dấu “=” khi 0 ≤ x ≤ 8; |x − 4| ≥ 0, dấu “=” khi x = 4 (thuộc [0; 8]). GTNN của S là 8 khi x = 4.

6. Cách trình bày bài làm gọn, đủ điểm

  1. Nhận dạng biểu thức: có bình phương, trị tuyệt đối, hay phân số?
  2. Viết đánh giá “A ≥ m” (hoặc “A ≤ M”) kèm lý do ngắn gọn như (x − 3)2 ≥ 0.
  3. Giải điều kiện để dấu “=” xảy ra.
  4. Kết luận rõ: “Vậy GTNN của A là … khi x = …”.

Sau khi nắm vững chuyên đề này, em có thể thử sức với các bài có điều kiện ràng buộc giữa các biến ở các chuyên đề nâng cao hơn.

Câu hỏi thường gặp

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là gì?

Là số m nhỏ nhất mà biểu thức có thể nhận: biểu thức luôn ≥ m với mọi giá trị của biến và có giá trị của biến để biểu thức đúng bằng m.

Vì sao phải chỉ ra dấu "=" xảy ra khi nào?

Vì nếu không có giá trị biến nào làm biểu thức bằng m thì m chỉ là một cận dưới, chưa phải giá trị nhỏ nhất. Ví dụ x² + 1 ≥ 0 đúng nhưng GTNN là 1, không phải 0.

Biểu thức 5 − (x − 1)² có giá trị nhỏ nhất không?

Không. Biểu thức này chỉ có giá trị lớn nhất là 5 khi x = 1, vì (x − 1)² có thể lớn tùy ý nên biểu thức giảm vô hạn.

Cách tìm GTNN của |x − a| + |x − b| là gì?

Viết |x − a| + |b − x| ≥ |b − a|. GTNN bằng |b − a|, đạt khi x nằm giữa a và b (kể cả hai đầu mút).

Bài học liên quan