Đề thi HSG Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2023

Đề thi HSG Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2023 - 2024 sở GD&ĐT Hải Dương

Trịnh Thị Thu Hiền Ngày: 29-06-2024 Lớp 12

Tải xuống 7 872 11

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 THPT cấp tỉnh năm 2023 - 2024 sở GD&ĐT Hải Dương có lời giải chi tiết. Hi vọng với bộ tài liệu này các em ôn luyện, củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng làm bài thật tốt để bước bài kì thi HSG sắp tới.

Đề thi HSG Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2023 - 2024 sở GD&ĐT Hải Dương

Một số câu hỏi có trong đề thi:

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Tìm các giá trị của m để hàm số $y = x^{4} - 4 x^{3} + (m + 25) x - m$ đồng biến trên khoảng (1; +∞ ).

b) Cho hàm số $y = 2 x^{3} - 3 m x^{2} + (m - 1) x + 1,$ với m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x₁, x₂ thỏa mãn $|x_{1} - x_{2}| \geq 1$ .

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập S. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 5.

b) Giải phương trình: $(x^{2} - x - 1) \sqrt{2 x + 3} + 5 x^{2} = 2 x^{3} + x + 3$ .

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} \sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 2} = \sqrt{7 y - 3 x + 8} \\ 27 x^{6} = x^{3} + 4 y + 2 \end{cases}$ .

b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho hình vuông ABCD và đường thẳng ∆ có phương trình $x - 2 y + 6 = 0$ . Điểm C thuộc đường thẳng ∆ , điểm M (6; 4) thuộc cạnh BC. Đường tròn đường kính AM cắt đoạn BD tại điểm N (1; 5). Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết rằng đỉnh C có tọa độ nguyên và đỉnh A có hoành độ nhỏ hơn 1.

Câu 4 (3,0 điểm)

a) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và $S C = 2 a \sqrt{5}$ . Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm M của AB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60^o. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).

b) Cho hình lăng trụ ABC. A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh BC = 2a và $\overset{⏜}{A B C} = 60 °$ . Biết tứ giác BCC'B' là hình thoi có $\overset{⏜}{B' B C}$ nhọn. Biết mặt phẳng (BCC′B′) vuông góc với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (ABB′A′ ) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45^o. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

c) Cho tứ diện ABCD. Gọi K là điểm thuộc cạnh CD sao cho 2KD = 3KC và I là điểm thuộc đoạn thẳng BK sao cho IK = 2IB. Mặt phẳng (α) đi qua I và luôn cắt các tia AB, AC, AD lần lượt tại các điểm M, N, P (khác đỉnh A ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$T = 4 . \frac{A B^{2}}{A M^{2}} + 9 . \frac{A C^{2}}{A N^{2}} + 16 . \frac{A D^{2}}{A P^{2}}$