Đề thi HSG Toán 12 cấp tỉnh năm 2023

Đề thi HSG Toán 12 cấp tỉnh năm 2023 - 2024 sở GD&ĐT Hà Nam

Trịnh Thị Thu Hiền Ngày: 25-06-2024 Lớp 12

Tải xuống 9 335 6

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2023 - 2024 sở GD&ĐT Hà Nam có lời giải chi tiết. Hi vọng với bộ tài liệu này các em ôn luyện, củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng làm bài thật tốt để bước bài kì thi HSG sắp tới.

Đề thi HSG Toán 12 cấp tỉnh năm 2023 - 2024 sở GD&ĐT Hà Nam

Một số câu hỏi có trong đề thi:

Câu I (5,0 điểm).

1. Cho hàm số $y = \frac{x - 3}{x + 1}$ có đồ thị (C) . Tìm trên (C) các điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.

2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f' (x) = {(x - 3)}^{2024} (5^{2 x} - 5^{x} + 1) (x^{2} - 2 x)$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $g (x) = f (x 2 - 8 x + m)$ có đúng ba điểm cực trị x₁, x₂, x₃ thỏa mãn ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {x_{3}}^{2} = 50$

Câu II (4,0 điểm).

1. Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thoả mãn $\log_{2} (x + 2 y) + x^{2} + 2 y^{2} + 3 x y - x - y = 0$ và $x + y > 0; x \in [- 2024; 2024] ?$

2. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $\{\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} \frac{2 y + \sqrt{1 + 4 y^{2}}}{x + x \sqrt{1 + x^{2}}} = 2 \log_{3} \frac{1}{9} . \log_{9} (2 y) \\ 2024^{2 x (1 - y)} + 1 = 2 x (1 + \sqrt{2 y^{2} - 2 y + 1}) \end{cases}$ .

Câu III (2,0 điểm). Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 + x \cos x (4 + 2 \sin 2 x + x \cos 2 x)}{\cos x \sqrt{2 + \sin 2 x}} d x$

Câu IV (5,0 điểm).

1. Cho hình chóp S. ABCD có $S A ⊥ (A B C D)$ , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 15, BC = AB = 5. Góc giữa m ặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) bằng $60 °$ . Gọi M là trung điểm của cạnh SD và I là điểm thỏa mãn $\vec{I D} = 2 \vec{A I}$ . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC . Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng SI và AM.

a) Tính thể tích khối tứ diện CDMI và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC .
b) Tính thể tích khối nón có đáy là hình tròn ngoại tiếp ∆EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng (ABCD).

2. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C' , ∆ABC vuông tại A, AB = 2AC. Gọi E là điểm thỏa mãn $\vec{E C'} = - 2 \vec{E C}$ . Khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng (A'BE) bằng 12 . Gọi α là góc giữa mặt phẳng (A'BE) và mặt phẳng (ABC). Tìm cosα để thể tích khối lăng trụ ABC. A'B'C' đạt giá trị
nhỏ nhất.