Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn có phương trình $x^2+(y-2{)}^2=1$ khi quanh trục Ox

Cho hàm số f(x) có đồ thị trên đoạn [−3;3] là đường gấp khúc ABCD như hình vẽ

Tính ${\int }_{-3}^{3}f\left(x\right)dx$

Cho parabol $\left(P\right):y=x^2+1$ và đường thẳng $\left(d\right): y = mx + 2.$ Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d)  đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó

Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp nhất trong toán học. Ở đó có mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là $16y^2=x^2(25-x^2)$ như hình vẽ bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét.

Gọi $\left(D_1\right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2\sqrt{x}, y=0, x=2020$, $\left(D_2\right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{3}x, y=0, x=2020$. Gọi $V_1, V_2$ lần lượt là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left(D_1\right)$ và $\left(D_2\right)$ xung quanh trục Ox. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ bằng:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi $\left(H_1\right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{x^2}{4}; y=-\frac{x^2}{4}; x=4; x=-4$ và $\left(H_2\right)$ là hình gồm tất cả các điểm (x;y) thỏa mãn $x^2+y^2\le 16, x^2+{\left(y-2\right)}^2\ge 4; x^2+{\left(y+2\right)}^2\ge 4$

Cho $\left(H_1\right)$ và $\left(H_2\right)$ quay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích là $V_1, V_2$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $4y=x^2$ và y = x. Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục hoành một vòng bằng:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=-x^2+2x$ và y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Oy là:

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{2-x}; y=x$ xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây?

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường (E): $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ quay quanh Oy?

Tìm thể tích V của vật tròn xoay sinh ra bởi đường tròn $x^2+(y-3{)}^2=4$ khi quay quanh trục Ox

Tính thể tích V của một vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $y=x^2; y=\sqrt{x}$ (H) giới hạn bởi các đường  quanh trục Ox

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $y=-\sqrt{4-x^2}, x^2+3y=0$ quay quanh trục Ox là $V=\frac{a\mathrm{\pi }\sqrt{3}}{b}$ với a, b > 0 và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tổng T = a + b

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{6-x^2}$ $\left(-\sqrt{6}\le x\le \sqrt{6}\right)$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục Ox.