Gọi H là trực tâm của tam giác đều ABC, đường cao AD. Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh BC. Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là trung điểm của AM.

a) Xác định dạng của tứ giác DEIF.

b) Chứng minh rằng các đường thẳng MH, ID, EF đồng quy.

Gọi M là điểm bất kì trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF.

a) Chứng minh rằng $AE\perp BC.$

b) Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh rằng ba điểm D,H, F thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.

Cho tam giác ABC. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các hình chữ nhật ABDE, ACFG, BCHK. Chứng minh rằng các đường trung trực của EG, FH, KD đồng quy.

Cho tam giác ABC. Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD=CE. Gọi I, K, M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, BC, DE.

a) Tứ giác MINK là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh rằng IK vuông góc với tia phân giác At của góc A.

Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFG có tâm theo thứ tự là M, N. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của EG, BC.

a) Chứng minh rằng KMIN là hình vuông.

b) Nếu tam giác ABC có BC cố định và đường cao tương ứng bằng h không đổi thì I chuyển động trên đường nào?

Cho hình chữ nhật ABCD.

a) Chứng minh rằng nếu M là một điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật thì $M{A}^2+M{C}^2=M{B}^2+M{D}^2.$

b) Kết quả trên có thay đổi không nếu điểm M nằm ngoài hình chữ nhật?

Tứ giác ABCD có $\widehat{C}=40°,\widehat{D}=80°,AD=BC.$ Gọi E và F là trung điểm của AB và CD. Tính $\widehat{EFD},\widehat{EFC}.$

Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng chu vi tam giác CEF bằng nửa chu vi hình vuông khi và chỉ khi $\widehat{EAF}=45°$

Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi E, F theo thứ tự là các hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng mình rằng:

a) BM vuông góc với EF.

b) Các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy.

Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AD, AB sao cho AE=EF. Gọi H là hình chiếu của A trên BE. Tính $\widehat{CHF}$.

Vẽ ra phía ngoài của một tam giác các hình vuông có cạnh là cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

a) Các đoạn thẳng nối trung điểm một cạnh của tam giác với tất các hình vuông dựng trên hai cạnh kia bằng nhau và vuông góc với nhau.

b) Đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông bằng và vuông góc với đoạn thẳng nối tâm hình vuông thứ ba với đỉnh chung của hai hình vuông trước.

Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là hình vuông.

Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O và chu vi các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình thoi.

Cho hình bình hành ABCD, $AB=2AD, \widehat{D}=70°.$ Gọi H là hình chiếu của B trên AD, M là trung điểm của CD. Tính số đo góc HMC.

Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình bình hành ABCD, lấy theo thứ tự các điểm E, M, N, F sao cho $BM=DN, BE=DF.$ Gọi I, O, K theo thứ tự là trung điểm của EF, BD, MN.

a) Chứng minh rằng ba điểm I, O, K thẳng hàng.

b) Trong trường hợp nào thì cả năm điểm A, I, O, K, C thẳng hàng?