Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Đáp án đúng là: C

- Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ là góc $\widehat{A}$  nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)={60}^0.$ (do tam giác ABC đều)

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.a.cos{60}^0=\frac{a^2}{2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}⇒}$ A đúng

- Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)$  là góc ngoài của góc $\widehat{C}$  nên $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)={120}^0.$

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=AC.CB.cos\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=a.a.cos{120}^0=-\frac{a^2}{2}\Rightarrow$ B đúng.

 Xác định được góc $\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)$  là góc $\widehat{AGB}$  nên $\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)={120}^0.$

Ta có: AG nằm trên đường trung tuyến cũng chính là đường cao của tam giác đều ABC, ta tính được đường cao, suy ra: AG = $\frac{2}{3}$ .a.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{a}{\sqrt{3}}$ .

Tương tự, GB = $\frac{a}{\sqrt{3}}$ .

Do đó $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=GA.GB.cos\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)=\frac{a}{\sqrt{3}}.\frac{a}{\sqrt{3}}.cos{120}^0=-\frac{a^2}{6}\Rightarrow$ C sai.

Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)$  là góc $\widehat{GAB}$  nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)={30}^0.$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}=AB.AG.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)=a.\frac{a}{\sqrt{3}}.cos{30}^0=\frac{a^2}{2}\Rightarrow$ D đúng.

Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ khác $\overrightarrow{0}$. Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$. Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ hay đơn giản là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, kí hiệu là ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$).

Chú ý :

+ Quy ước rằng góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{0}$ có thể nhận một giá trị tùy ý từ 0° đến 180°.

+ Nếu ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$) = 90° thì ta nói rằng $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau. Kí hiệu $\overrightarrow{u}$ ⊥ $\overrightarrow{v}$ hoặc $\overrightarrow{v}$ ⊥ $\overrightarrow{u}$. Đặc biệt được coi là vuông góc với mọi vectơ.

Xem thêm một số kiến thức liên quan:

20 câu Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ (Kết nối tri thức) có đáp án – Toán lớp 10

Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ (Kết nối tri thức) hay, chi tiết | Toán lớp 10