Cho $x^2, \frac{1}{2}{y}^2$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $\sqrt{3}xy+y^2$. Tính S=M+m

Một cái hộp không nắp được làm từ một miếng bìa các tông theo mẫu ở hình vẽ bên. Hộp  có đáy là một hình vuông cạnh x (cm), chiều cao h (cm) và thể tích của hộp là $500 c{m}^3$. Tìm x để nguyên liệu làm hộp tốn ít nhất.

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a, mp (SAB) vuông góc với đáy, thể tích của khối chóp bằng $a^3$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD

Biết ${\int }_0^1(\frac{1}{2x+1}-\frac{1}{3x+1})dx=\frac{1}{6}\ln \frac{a}{b}$ trong đó a,b là 2 số nguyên dương và a/b là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây sai

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có $u_n=2{(-\sqrt{3})}^{n+1}$ . Tìm công bội q của cấp số nhân đó

Cho số phức $z=1+(1+i)+{(1+i)}^2+...+{(1+i)}^{2012}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng

Tìm m đề phương trình $2{\log }_4(2x^2-x+2m-4m^2)+{\log }_{\frac{1}{2}}(x^2+mx-2m^2)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn ${x_1}^2+{x_2}^2>1$

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC=2a, góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng $60°$. Hỏi thể tích của khối chóp SABC bằng bao nhiêu?

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}$

Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào

Xét một mô hình như sau. Từ hình vuông ABCD tâm I và có cạnh bằng 8, người ta cắt bỏ đi hai tam giác IAD, IBC, sau đó dán lên phần còn lại một hình vuông khác sao cho các đỉnh của hình vuông này trùng với các trung điểm của IA, IB, IC, ID như hình vẽ bên. Quay mô hình này xung quanh đường thẳng đi qua I và trung điểm của AB. Tính thể tích của vật thể tròn xoay thu được

Cho khối lăng trụ ABCD. A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và có thể tích bằng $3a^2$. Tính chiều cao h của khối lăng trụ ABCD. A'B'C'D'.

Cho 2 đường thẳng $d_1 \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x=4+2t\\ y=4+2t\end{array}\\ z=-3-t\end{array}, d_2: \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-2}\right.$ Viết phương trình đường thẳng $∆$ cắt và vuông góc với cả 2 đường thẳng trên

Cho một mặt cầu có diện tích bằng $\frac{8{\mathrm{\pi a}}^2}{3}$. Tính bán kính mặt cầu.

Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C'có đáy là tam giác vuông tạiA, AC=a, $\widehat{ACB}=60°$, góc giữa BC' và mặt phẳng (AA'C'C) bằng $30°$. Tính thể tích của khối lăng trụ ABCA'B'C'