Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. M, N lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB, AC sao cho hai mặt phẳng (DMN), (ABC) vuông góc với nhau. Đặt $AM = x,AN = y$ Đẳng thức nào sau đây đúng?

Cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}.$ Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất, Khoảng cách từ điểm M(1;2;-1) đến (P) bằng:

Tập nghiệm S của bất phương trình ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{1-3x}\ge \frac{25}{4}$ là:

Công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử là:

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng $\sqrt{3}{a}^3.$ Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a, thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy, biết đáy ABCD là hình bình hành. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD

Cho a,b > 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số $y=\frac{m}{3}{x}^3-2x^2+(m+3)x+m.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để hàm số đồng biến trên R.

Cho $a,b > 0$, biểu thức $P={\log }_{\frac{1}{2}}a+4{\log }_{4}b$ bằng biểu thức nào sau đây?

Cho hàm số $y = f\left(x\right)$ có đồ thị như hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2;3] bằng:

Cho lăng trụ đều $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có đáy bằng 2a, độ dài cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$. Tính thể tích của khối lăng trụ.    

Phương trình $x+{\log }_2\left(9-2^x\right)=3$ có nghiệm nguyên dương là a. Tính giá trị biểu thức $T=a^3-5a-\frac{9}{a^2}$

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\ln 2x}{x^2}$

Cho $z_1,z_2$ là hai số phức liên hợp của nhau, đồng thời thỏa mãn $\frac{z_1}{z_2}\in R$ và $\left|z_1-z_2\right|=2\sqrt{3}.$ Tính mô đun của số phức $z_1$

Gọi $l,h,r$ lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Thể tích của khối nón là:

Trong không gian Oxyz, cho điểm E(8;1;1). Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua E và cắt chiều dương các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OG nhỏ nhất với G là trọng tâm tam giác ABC.