Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.

1. Chứng minh rằng khi điểm D chuyển động trên cạnh BC thì tổng DE + DF có giá trị không đổi.

2. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF ở K. Chứng minh rằng K là trung điểm của EF.

Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 2a, M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho $\widehat{DME}=\hat{B}$

1. Chứng minh rằng tích BC.CE không đổi

2. Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc BDE

3. Tính chu vi tam giác AED nếu tam giác ABC là tam giác đều.

Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy điểm G thuộc cạnh BC, điểm H thuộc cạnh CD sao cho $\widehat{GOH}=45°$. Gọi M là trung diểm của AB. Chứng minh rằng:

1. Tam giác HOD đồng dạng với tam giác OGB

2. MG song song vơi AH.

Cho hình thoi ABCD cạnh a có $\hat{A}=60°$. Một đường thẳng bất kì đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA theo thứ tự tại M và N.

1, Chứng minh rằng tích BM. DN có giá trị không đổi

2, Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính góc BKD.

Cho tam giác ABC (AB < AC) đường phân giác AD. Đường trung trực của AD cắt BC ở K.

1. Chứng minh rằng $△KAB=△KCA$

2. Tính độ dài KD biết BD = 2 cm, DC = 4 cm

Cho điểm M nằm trong hình bình hành ABCD sao cho $\widehat{MAB} = \widehat{MCB}$. Qua M vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AB và CD theo thứ tự ở G và H. Qua M vẽ đường thẳng song song với AB, cắt BC ở F. Chứng minh rằng:

1. Tam giác AGM đồng dạng với tam giác CFM

2. $\widehat{MBC} = \widehat{MDC}$

Tam giác ABC có $\hat{B}=2\hat{C}$, AB = 4cm, BC = 5cm. Tính độ dài AC

Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác BD. Tính độ dài BD biết rằng BC = 5 cm, AC = 20 cm.

Các đường phân giác các góc ngoài tại các đỉnh B và C của tam giác ABC cắt nhau ở K. Đường thẳng vuông góc với AK tại K cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng

1. Các tam giác BDK và EKC đồng dạng

2. $D{E}^2=4BD.CE$

Cho tam giác ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC, BC theo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng

1. Tam giác AIM đồng dạng với tam giác ABI

2. $\frac{AM}{BN}={\left(\frac{AI}{BI}\right)}^2$

Cho tam giác ABC (AB < AC) có đường phân giác AD. Vẽ tia Dx sao cho $\widehat{CDx}=\widehat{BAC}$ (tia Dx và A cùng phía đối với BC), tia Dx cắt AC ở E. Chứng minh rằng

1. $△ABC~△DEC$

2. DE = DB

Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC có $\hat{B}=2\hat{C}$ biết rằng số đo các cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp

Tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 18 cm, BC = 27 cm, điểm D thuộc cạnh BC sao cho CD = 12 cm. Tính độ dài AD.

Cho tam giác ABC và A’B’C’ có $\hat{A}+\widehat{A\text{'}}=180°, \hat{B}=\widehat{B\text{'}}$. Gọi BC = a, AC = b, AB = c, B’C’ = a’, A’C’ = b’, A’B’ = c’. Chứng minh rằng aa’=bb’+cc’

Tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và $a^2=bc$. Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác có độ dài các cạnh bằng độ dài ba đường cao của tam giác ABC.