Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AC}.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Do tam giác ABC đều nên:

AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến

$\Rightarrow BH=CH=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$

Xét tam giác AHC vuông tại H

Áp dụng định lí Pythagore có:

AH2 + CH2 = AC2 ⇔ AH2  = AC2 – CH2 = $a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}\iff AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{HAC}$; $\cos \widehat{HAC}=\frac{AH}{AC}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AH}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos HAC=\frac{a\sqrt{3}}{2}.a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}{a}^2$.

Lí thuyết Tích vô hướng của hai vectơ:

- Định nghĩa góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơvàđều khác vectơ. Từ điểm O bất kì vẽ=,=, khi đó góc() là góc giữa hai vectơvà. Kí hiệu: .(, )

- Định nghĩa tích vô hướng: Cho hai vectơ  và  ( , #  ), khi đó tích vô hướng của và  kí hiệu là .  và xác định bởi công thức: .  = | |.| | . cos( ,).

 

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Câu hỏi và bài tập tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Tổng hợp kiến thức và bài tập trắc nghiệm có hướng dẫn chi tiết chuyên đề Tích vô hướng hai vecto