Cho tam giác ABC có $\widehat{A}={120}^o$ , b = 8, c = 5. Tính:

a) Cạnh a và các góc $\widehat{B}$ , $\widehat{C}$ ;

b) Diện tích tam giác ABC;

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao AH của tam giác.

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

a² = b² + c² – 2bccosA = 8² + 5² – 2.8.5.cos120° = 129

⇒ a = $\sqrt{129}\approx 11,4$

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosB = $\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{11,4^2+5^2-8^2}{2.11,4.5}\approx 0,798$

⇒ $\widehat{B}\approx {37}^{o}4\text{'}$

Tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o\Rightarrow \widehat{C}={180}^o-(\widehat{A}+\widehat{B})={180}^o-({120}^o+{37}^{o}4\text{'})={22}^{o}56\text{'}$

Vậy a ≈ 11,4; $\widehat{B}\approx {37}^{o}4\text{'}$ ; $\widehat{B}={22}^{o}56\text{'}$ .

b) Nửa chu vi tam giác ABC là :

 $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{11,4+8+5}{2}=12,2$

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC:

$S=\sqrt{12,2.(12,2-11,4).(12,2-8).(12,2-5)}=\sqrt{295,1}\approx 17,2$

Vậy diện tích tam giác ABC khoảng 17,2 (đơn vị diện tích).

c) Ta có diện tích tam giác ABC: 

$S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{11,\mathrm{4.8.5}}{4.17,2}\approx 6,6$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khoảng 6,6 (đơn vị độ dài).

Gọi ha là độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A, tức là ha = AH.

Khi đó $S=\frac{1}{2}a{h}_a\Rightarrow h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2.17,2}{11,4}\approx 3$

⇒ AH = ha ≈ 3.

Vậy AH ≈ 3.

Phương pháp giải:

Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:

a² = b² + c² – 2bc.cosA.

b² = c² + a² – 2ca.cosB.

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Định lí sin

Trong tam giác ABC: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}=2\mathrm{R}$.

Công thức tính diện tích tam giác

Đối với tam giác ABC: A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC sau:

+) S = pr = $\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\mathrm{r}}{2}$

+) S = $\frac{1}{2}$bc sin A = $\frac{1}{2}$ca sin B =$\frac{1}{2}$ab sin C.

+) S = $\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{R}}$

+) Công thức Heron: S = $\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{a})(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}$.

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Lý thuyết Toán 10 Chương 3 (Kết nối tri thức): Hệ thức lượng trong tam giác hay, chi tiết

Trắc nghiệm Toán 10 Chương 3: Hệ thức lượng trong tam giác (Kết nối tri thức) có đáp án