Trả lời nhanh
Hiểu đề là tích vô hướng của các vectơ: P = AC·(CD + CA) = AC·CD + AC·CA. Trong hình vuông cạnh a có AC = a√2, góc giữa AC và CD bằng 135°, nên AC·CD = −a²; còn AC·CA = −AC² = −2a². Vậy P = −3a².
Đề bài và cách hiểu đề
Đề: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính P = AC·(CD + CA). Ở lớp 10 (bài tích vô hướng của hai vectơ), AC, CD, CA đều là vectơ, dấu chấm là tích vô hướng. Khi gõ lên máy, các dấu mũi tên vectơ thường bị mất nên đề trông như nhân độ dài.
Công thức cần nhớ: u·v = |u|·|v|·cos(u, v), và tích vô hướng có tính chất phân phối: a·(b + c) = a·b + a·c.
Cách 1: Tách tích và dùng định nghĩa
Bước 1. Phân phối: P = AC·CD + AC·CA.
Bước 2. Tính độ dài: AC là đường chéo hình vuông nên |AC| = a√2; |CD| = a.
Bước 3. Tính AC·CA. Hai vectơ AC và CA ngược hướng, góc 180°, nên AC·CA = a√2 · a√2 · cos180° = −2a².
Bước 4. Tính AC·CD. Muốn tìm góc giữa hai vectơ phải đưa về cùng gốc. Dựng vectơ CE = AC (hoặc tịnh tiến CD về gốc A: AD’ = CD, tức vectơ CD cùng hướng với BA). Vì vectơ AC hướng “lên-phải” còn CD hướng sang trái, góc giữa chúng là 180° − 45° = 135°.
AC·CD = a√2 · a · cos135° = a√2 · a · (−√2/2) = −a².
Bước 5. P = −a² + (−2a²) = −3a².
Cách 2: Dùng toạ độ (kiểm tra nhanh)
Chọn hệ trục với A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a). Khi đó:
- AC = (a; a)
- CD = D − C = (−a; 0)
- CA = A − C = (−a; −a)
- CD + CA = (−2a; −a)
P = a·(−2a) + a·(−a) = −2a² − a² = −3a². Hai cách cho cùng kết quả.
Vì sao kết quả mang dấu âm?
Tích vô hướng âm khi góc giữa hai vectơ tù. Ở đây cả CD và CA đều “đi ngược” so với hướng của AC (góc 135° và 180°), nên cả hai số hạng đều âm. Nhìn dấu trước khi tính giúp bạn phát hiện sai sót sớm.
Lỗi sai thường gặp
- Lấy góc 45° cho AC và CD. 45° là góc giữa AC và DC hoặc giữa CA và CD (cùng gốc C). Với AC và CD, một vectơ đi vào C, một vectơ đi ra từ C nên góc là 135°.
- Quên |AC| = a√2 mà lấy |AC| = a.
- Coi AC·CA = AC² (dương). Thực tế CA = −AC nên tích là −AC².
- Cộng độ dài thay vì cộng vectơ khi tính CD + CA.
Lưu ý: nếu đề thật sự chỉ là tích các độ dài (không phải vectơ) thì P = a√2·(a + a√2) = a²(2 + √2). Nhưng với dạng toán hình vuông ở lớp 10, cách hiểu tích vô hướng ở trên mới là phổ biến.
Mẹo nhớ
Gặp tích vô hướng trong hình vuông, hãy đặt toạ độ A(0; 0), C(a; a) rồi tính theo toạ độ: ít sai dấu hơn so với tìm góc bằng mắt.
Bài luyện tập
- Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB·(AC + AD).
Đáp án: AB·AC = a² (góc 45°: a·a√2·√2/2), AB·AD = 0, nên kết quả là a². - Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính BD·(BA + BC).
Đáp án: BA + BC = BD (quy tắc hình bình hành), nên kết quả là BD² = 2a². - Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính CA·(CB + CD).
Đáp án: CB + CD = CA, nên kết quả là CA² = 2a².
Câu hỏi thường gặp
Đáp số của bài cho hình vuông ABCD cạnh a tính P = AC.(CD + CA) là bao nhiêu?
P = −3a², khi hiểu AC, CD, CA là các vectơ và dấu chấm là tích vô hướng.
Góc giữa hai vectơ AC và CD trong hình vuông là bao nhiêu độ?
Là 135°. Hai vectơ phải cùng gốc mới đo được góc; tịnh tiến về cùng gốc ta thấy chúng hợp góc tù 135°, không phải 45°.
Tại sao AC·CA lại bằng −2a²?
Vì CA là vectơ đối của AC nên góc giữa chúng là 180°, cos180° = −1 và |AC|² = 2a², do đó AC·CA = −2a².
Nếu đề chỉ là tích các độ dài thì kết quả khác không?
Có. Khi đó P = a√2·(a + a√2) = a²(2 + √2). Nhưng đề thuộc bài tích vô hướng nên đáp số thường dùng là −3a².