Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=\left(3-x\right)\left(x^2-1\right)+2x,\forall x\in ℝ$. Hỏi hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)-x^2-1$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Đáp án C

$$\begin{gathered} g^{\text{'}}\left(x\right)=f^{\text{'}}\left(x\right)-2x=\left(3-x\right)\left(x^2-1\right)+2x-2x=\left(3-x\right)\left(x^2-1\right) \\ {g}^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=\pm 1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Bảng xét dấu g'(x):

Từ bảng xét dấu trên ta thấy hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (1;2)

Phương pháp giải:

•Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Giả sử K là khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm số xác định trên K.

- Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) < f(x₂).

- Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) > f(x₂).

Chú ý:

- Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải (H.1.3a).

- Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải (H.1.3b).

- Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

- Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số đó.

• Các bước xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x)

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số y = f(x).

Bước 2. Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm x_i (i = 1, 2, …, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài tập liên quan: 

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$, có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=x{\left(x-1\right)}^2\left(x-2\right)$. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số $y=f\left(\frac{x+2}{x+m}\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(10;+\infty \right)$.Tính tổng các phần tử của S

A. -9

B. -3

C. -5

D. -7

Cách giải:

Đáp án A

Đặt $g\left(x\right)=f\left(\frac{x+2}{x+m}\right)$,

$$\begin{gathered} {\left[g\left(x\right)\right]}^{\text{'}}={\left(\frac{x+2}{x+m}\right)}^{\text{'}}.f^{\text{'}}\left(\frac{x+2}{x+m}\right) \\ =\frac{m-2}{{\left(x+m\right)}^2}.\frac{x+2}{x+m}.{\left(\frac{x+2}{x+m}-1\right)}^2.\left(\frac{x+2}{x+m}-2\right) \\ =\frac{m-2}{{\left(x+m\right)}^2}.\frac{x+2}{x+m}.{\left(\frac{2-m}{x+m}\right)}^2.\left(\frac{2-x-2m}{x+m}\right) \\ =\frac{x+2}{{\left(x+m\right)}^4}.{\left(\frac{2-m}{x+m}\right)}^2.\left(2-m\right)\left(x+2m-2\right) \end{gathered}$$

Hàm số $y=g\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(10;+\infty \right)\iff \left\{\begin{array}{l}m\ge -10\\ g^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left(10;+\infty \right)\end{array}\right.$

Xét $g^{\text{'}}\left(x\right)$ trên $\left(10;+\infty \right)$

TH 1: $m=2\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=0,\forall x\ne -m$ loại.

TH 2: $m>2, g^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\iff x\le 2-2m$ loại.

TH 3: $m<2, g^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\iff x\ge 2-2m$ . Hàm số $y=g\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(10;+\infty \right)$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}m\ge -10\\ 2-2m\le 10\end{array}\right.\iff m\ge -4$

Vậy các giá trị m cần tìm là $-4\le m<2$

Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $S=\left\{-4;-3;-2;-1;0;1\right\}$

Vậy tổng các phần tử của S là $\left(-4\right)+\left(-3\right)+\left(-2\right)+\left(-1\right)+0+1=-9$

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

50 Bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của hàm số chứa tham số m

43 câu Trắc nghiệm Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - Toán 12