Cho hàm số $f\left(x\right)$liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích các hình phẳng (A), (B) lần lượt bằng 3 và 7. Tích phân $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos x.f\left(5\sin x-1\right)dx$ bằng

Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn $\left[-2019;2019\right]$ của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x-3}}{x^2+x-m}$ có đúng hai đường tiệm cận.

 Cho hai hàm số $f\left(x\right)$ và $g\left(x\right)$ có đạo hàm trên đoạn $\left[1;4\right]$ và thỏa mãn hệ thức $\left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)+g\left(1\right)=4\\ g\left(x\right)=-x.f^{\text{'}}\left(x\right);f\left(x\right)=-x.g^{\text{'}}\left(x\right)\end{array}\right.$. Tính $I=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\text{d}x$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ và M, N là hai điểm lần lượt trên cạnh CA, CB sao cho MN song song với AB và $\frac{CM}{CA}=k$. Mặt phẳng $\left(MN{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$ chia khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ thành hai phần có thể tích $V_1$ (phần chứa điểm C) và $V_2$ sao cho $\frac{V_1}{V_2}=2$. Khi đó giá trị của k là

Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính r vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đều tiếp xúc với đường sinh của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối trụ là 120 cm3, thể tích của mỗi khối cầu bằng

Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0$ và $x=\mathrm{3,}$ biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x(0\le x\le 3)$ là một hình chữ nhật có hai kích thước là $2\sqrt{9-x^2}.$

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left(\alpha \right):x+2y+3z-6=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{-1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{1}$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[1;5\right]$ sao cho $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=2$ và $\underset{1}{\overset{5}{\int }}g\left(x\right)\text{d}x=-4$. Giá trị của $\underset{1}{\overset{5}{\int }}\left[g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]\text{d}x$ là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình bên.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{z-1}{-1}=\frac{y-3}{2}$. Một vectơ chỉ phương của $d$ là

 Bất phương trình  nghiệm đúng với mọi   khi và chỉ khi

 Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a,AD=a\sqrt{2},SA\perp \left(ABCD\right)$ và $SA=a$ (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left(SBD\right)$ bằng:

Cho hai số thực $x,y$ thay đổi thỏa mãn $x+y+1=2\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3}\right)$.Giá trị lớn nhất của biểu thức $S=3^{x+y-4}+\left(x+y+1\right)2^{7-x-y}-3\left(x^2+y^2\right)$ là $\frac{a}{b}$ với $a,b$ là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $a+b$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại tại điểm nào sau đây?