Cho biết $\sin \frac{\alpha }{3}=\frac{3}{5}$. Giá trị của $P=3{\sin }^2\frac{\alpha }{3}+5{\cos }^2\frac{\alpha }{3}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án B

Ta có biểu thức:

$$\begin{gathered} {\sin }^2\frac{\alpha }{3}+{\cos }^2\frac{\alpha }{3}=1 \\ \iff {\cos }^2\frac{\alpha }{3}=1-{\sin }^2\frac{\alpha }{3}=\frac{16}{25} \end{gathered}$$

Do đó ta có:

$$\begin{gathered} P=3{\sin }^2\frac{\alpha }{3}+5{\cos }^2\frac{\alpha }{3} \\ =3.{\left(\frac{3}{5}\right)}^2+5.\frac{16}{25}=\frac{107}{25} \end{gathered}$$

Lý thuyết Các công thức lượng giác

1. Công thức cộng

• cos(α + β) = cosα.cosβ – sinα.sinβ;            

• cos(α – β) = cosα.cosβ + sinα.sinβ;

• sin(α + β) = sinα.cosβ + cosα.sinβ;             

• sin(α – β) = sinα.cosβ − cosα.sinβ;

• $\mathrm{tan(}\left(\alpha +\beta \right))=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta };$                      

• $\mathrm{tan(}\left(\alpha -\beta \right))=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }.$

2. Công thức góc nhân đôi

- Công thức góc nhân đôi là công thức tính các giá trị lượng giác của góc 2α qua các giá trị lượng giác của góc α.

- Công thức góc nhân đôi bao gồm những công thức sau:

• cos2α = cos²α – sin²α = 2cos²α – 1 = 1 – 2sin²α;

• sin2α = 2sinα . cosα;

• $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }.$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

• $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2};$       

• $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2};$

• $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2};$          

• $\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}.$

Xem thêm một số kiến thức liên quan:

20 Bài tập Công thức lượng giác (sách mới) có đáp án – Toán 11

Lý thuyết, bài tập về Công thức lượng giác có đáp án