Phương pháp giải.

Tìm A, ω, φ, f, x-v-pha tại thời điểm t.

- Tìm A:

+ Đề cho PTDĐ: $x=Ac\text{os(}\omega \text{t + }\phi \text{) }\to \text{A}$

+ Tìm A: $\{\begin{array}{l}{A}^2=x^2+{\displaystyle \frac{v^2}{{\omega }^2}}={{\displaystyle \frac{a}{{\omega }^4}}}^2+{\displaystyle \frac{v^2}{{\omega }^2}}\\ A={\displaystyle \frac{v_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{\omega }}={\displaystyle \frac{a_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{{\omega }^2}}={\displaystyle \frac{L}{2}}={\displaystyle \frac{S}{4}}={\displaystyle \frac{{v_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}^2}{a_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}}\end{array}$

Trong đó:

+ L: chiều dài quỹ đạo của dao động

+ S: quãng đường vật đi được trong một chu kì.

+ Đề cho x, v, ω hoặc v, a, ω:

Ta sử dụng công thức độc lập với thời gian: $A^2=x^2+{\displaystyle \frac{v^2}{{\omega }^2}}\text{, }{A}^2={{\displaystyle \frac{a}{{\omega }^4}}}^2+{\displaystyle \frac{v^2}{{\omega }^2}}$

- Tìm T: $T={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }t}{N}},f={\displaystyle \frac{N}{\mathrm{\Delta }t}}$ với N là tổng số dao động trong thời gian ∆t

- Tìm ω:  Đề cho f hoặc T:  Sử dụng công thức: $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}=2\pi f$

- Xác định x-v-a-pha dao động tại thời điểm t:

+ li độ x: $x=Ac\text{os(}\omega \text{t + }\phi \text{)}$

+ vận tốc v: $v=x^{\prime }=-\omega A\sin (\omega t+\phi )=\omega Acos(\omega t+\phi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

hoặc sử dụng công thức: $A^2=x^2+{\displaystyle \frac{v^2}{{\omega }^2}}$

+ gia tốc a: $a=v^{\prime }=-{\omega }^{2}A\cos (\omega t+\phi )=-{\omega }^{2}x$

+ Pha dao động: ωt+φ

$x=Ac\text{os(}\omega \text{t + }\phi \text{)}$

$v=x^{\prime }=-\omega A\sin (\omega t+\phi )=\omega Acos(\omega t+\phi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

$a=v^{\prime }=-{\omega }^{2}A\cos (\omega t+\phi )=-{\omega }^{2}x$

2. Bài tập cho x, v hoặc a tìm các đại lượng còn lại tại cùng một thời điểm.

Sử dụng hệ thức độc lập

- Hệ thức độc lập A-x-v: $A^2=x^2+{\displaystyle \frac{v^2}{{\omega }^2}}$

- Hệ thức độc lập A-a-v: $A^2={{\displaystyle \frac{a}{{\omega }^4}}}^2+{\displaystyle \frac{v^2}{{\omega }^2}}$

- Quan hệ giữa a-x: a=-ω2x

3. Bài tập cho x, v hoặc a tại một thời điểm t1 tìm x, v, a tại thời điểm trước (hoặc sau) đó T/4, T/2, 3T/4, ...

 Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x0.

 * Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(wt + j) cho x = x0

 Lấy nghiệm wt + j = a với $0⩽\alpha ⩽\pi$ ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0) hoặc wt + j = - a  ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương)

* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó Dt giây là

$\{\begin{array}{c}\text{x }=\text{ Acos}(\pm \omega \mathrm{\Delta }t+\alpha )\\ v=-\omega \text{A}\sin (\pm \omega \mathrm{\Delta }t+\alpha )\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{c}\text{x }=\text{ Acos}(\pm \omega \mathrm{\Delta }t-\alpha )\\ v=-\omega \text{A}\sin (\pm \omega \mathrm{\Delta }t-\alpha )\end{array}$

- Bước 1: Tìm A: $\{\begin{array}{l}A={\displaystyle \frac{v_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{\omega }}={\displaystyle \frac{a_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{{\omega }^2}}={\displaystyle \frac{L}{2}}={\displaystyle \frac{S}{4}}={\displaystyle \frac{{v_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}^2}{a_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}}\\ A^2=x^2+{\displaystyle \frac{v^2}{{\omega }^2}}={{\displaystyle \frac{a}{{\omega }^4}}}^2+{\displaystyle \frac{v^2}{{\omega }^2}}\end{array}$

• L: chiều dài quỹ đạo của dao động
• S: quãng đường vật đi được trong một chu kì

- Bước 2: Tìm Tìm  $\omega$: $\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m}}}=2\pi f={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{a_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{A}}}={\displaystyle \frac{v_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{A}}={\displaystyle \frac{a_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{v_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{v^2}{A^2-x^2}}}$

Trong đó:

• Chu kì T: $T={\displaystyle \frac{t}{N}}$
• Tần số f: $f={\displaystyle \frac{N}{t}}$
• N là số dao động vật thực hiện được trong khoảng thời gian t

- Bước 3: Tìm $\phi$

Tại t = 0: $\{\begin{array}{l}x=Ac\mathrm{o}\mathrm{s}\phi \\ \mathrm{v}=-\mathrm{A}\omega \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi \end{array}\to \{\begin{array}{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi ={\displaystyle \frac{x_0}{A}}\\ \sin \phi =-{\displaystyle \frac{v}{A\omega }}\end{array}\to \phi =?$

• nếu $v>0\to \sin \phi <0$ vật chuyển động theo chiều dương
• nếu $v<0\to \sin \phi >0$ vật chuyển động theo chiều âm

Ta có thể thay đổi thứ tự các bước tùy theo tính chất đề bài.

- Bước 1: Tìm A, ω: từ phương trình của v hoặc a.

- Bước 2: Tìm ${\phi }_x:\{\begin{array}{l}{\phi }_x={\phi }_v-\frac{\pi }{2}\\ {\phi }_x={\phi }_a-\pi \end{array}$

(do vận tốc nhanh pha hơn x một góc $\pi /2$ và gia tốc a ngược pha với x)

b. Ví dụ:

- Cách 1: Sử dụng đường tròn lượng giác

+ Bước 1: Xác định góc ∆φ

+ Bước 2: $\mathrm{\Delta }t=\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\omega }=\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\frac{2\pi }{T}}=\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2\pi }.T=\frac{\mathrm{\Delta }{\phi }^0}{360}.T$

Trong đó:

φ: góc theo rad

φ0: góc theo độ

Cách 2: Sử dụng trục thời gian trên đường thẳng được suy ra từ đường tròn.

- Qua x không kể đến chiều:

+ n chẵn: $t=\frac{n-2}{2}T+t_2$ với t2: thời gian để vật đi qua vị trí x lần thứ 2 kể từ thời điểm ban đầu.

+ n lẻ: $t=\frac{n-1}{2}T+t_1$ với t1: thời gian để vật đi qua vị trí x lần thứ 1 kể từ thời điểm ban đầu.

- Qua x kể đến chiều (theo chiều + hoặc -)

$t=(n-1)T+t_1$ với t1 là thời gian để vật đi qua vị trí x theo chiều đầu bài yêu cầu lần thứ 1 kể từ thời điểm ban đầu.

Xác định t1, t2 như mục 1

3. Xác định số lần vật đi qua vị trí đã biết từ thời điểm t1 đến thời điểm t2

- Cách 1: Phương pháp đại số

+ Giải phương trình lượng giác được các nghiệm

+ Từ t1 < t ≤ t2 Þ Phạm vi giá trị của (Với k Î Z)

+ Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó.

- Cách 2: Phương pháp ứng dụng vòng tròn lượng giác

+ Bước 1: Xác định T

+ Bước 2: tách $\mathrm{\Delta }t=aT+t^{\ast }$

+ Bước 3: Xác định số lần vật qua vị trí x trong khoảng thời gian t* (n*)

=> Số lần vật qua vị trí x:

+ n= 2a + n* (nếu không kể đến chiều chuyển động)

+ n= a+n* (nếu qua vị trí biên hoặc khi kể đến chiều chuyển động)

- Cách 1: Phương pháp đại số

+ Bước 1: Xác định: $\{\begin{array}{l}{x}_1=\mathrm{A}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t_1+\phi )\\ v_1=-\omega A\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t_1+\phi )\end{array}va\{\begin{array}{l}{x}_2=\mathrm{A}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t_2+\phi )\\ v_2=-\omega A\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t_2+\phi )\end{array}$

(v1 và v2 chỉ cần xác định dấu)

+ Bước 2: Phân tích: t2 – t1 = nT/2 + Dt (n ÎN; 0 ≤ Dt < T/2)

+ Bước 3: Tính quãng đường:

Quãng đường đi được trong thời gian nT/2 là S1 = 2nA, trong thời gian Dt là S2.

Quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2

( Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox)

- Cách 2: Phương pháp ứng dụng vòng tròn lượng giác

+ Bước 1: Phân tích: t2 – t1 = nT/4 + Dt (n ÎN; 0 ≤ Dt < T/4)

+ Bước 2: Tính quãng đường:

Quãng đường đi được trong thời gian nT/4 là S1 = nA, trong thời gian Dt là S2.

Quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2

Tính S2 bằng cách xác định trên vòng tròn lượng giác (tọa độ và hướng của x1, x2)

- Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2:

$v_{tb}={\displaystyle \frac{S}{t_2-t_1}}$ với S là quãng đường tính như trên.

Tốc độ trung bình trong 1 chu kì: $v_{tb}={\displaystyle \frac{4A}{T}}={\displaystyle \frac{4A}{{\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}}}={\displaystyle \frac{2A\omega }{\pi }}={\displaystyle \frac{2v_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{\pi }}$

$S_{M\mathrm{a}\mathrm{x}}=2\mathrm{A}\sin {\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2}}$

$S_{Min}=2A(1-c\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2}})$