Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề: Quan hệ chia hết, tài liệu bao gồm 95 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu gồm có:

I. Lý thuyết

II. Bài tập

CHUYÊN ĐỀ:

QUAN HỆ CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ

A. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa phép chia.

Cho hai số nguyên a và b trong đó \(b \ne 0\) ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao cho \(a = bq + r\), với \(0 \le r \le \left| b \right| - 1\). Trong đó a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.

Khi a chia cho b thì các số dư \(r \in \left\{ {0;1;2;...\left| b \right| - 1} \right\}\)

Nếu \(r = 0\) thì \(a = bq\), khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a. Ký hiệu \(a \vdots b\) hay \(b|a\).

Vậy a chia hết cho b khi và chỉ khi tồn tại số nguyên q sao cho \(a = bq\).

Nếu \(r \ne 0\), khi đó ta nói a chia b có số dư là r.

2. Một số tính chất cần nhớ

Tính chất 1. Mọi số nguyên khác 0 luôn chia hết cho chính nó.

Tính chất 2. Nếu \(a \vdots b\) và \(b \vdots c\) thì \(a \vdots c\).

Tính chất 3. Nếu \(a \vdots b\) và \(b \vdots a\) thì \(a =  \pm b\).

Tính chất 4. Nếu \(a.b \vdots m\) và \(\left( {b,m} \right) = 1\) thì \(a \vdots m\).

Tính chất 5. Nếu \(a \vdots m\) và \(b \vdots m\) thì \(\left( {a \pm b} \right) \vdots m\).

Tính chất 6. Nếu \(a \vdots m\), \(a \vdots n\) và \(\left( {m,n} \right) = 1\) thì \(a \vdots mn\).

Tính chất 7. Nếu \(a \vdots b\) và \(c \vdots d\) thì \(ac \vdots bd\).

Tính chất 8. Trong n số nguyên liên tiếp luôn tồn tại một số nguyên chia hết cho n.

Tính chất 9. Nếu \(a - b \ne 0\) với a, b là các số tự nhiên thì \(\left( {{a^n} - {b^n}} \right) \vdots \left( {a - b} \right)\)  \(\left( {n \in N} \right)\).

Tính chất 10. Nếu \(a + b \ne 0\) với a, b, n là các số tự nhiên và n là số lẻ thì \(\left( {{a^n} - {b^n}} \right) \vdots \left( {a - b} \right)\).

3. Một số dấu hiệu chia hết

Đặt \(A = \overline {{a_n}{a_{n - 1}}...{a_2}{a_1}{a_0}} ,\) với \({a_n};{a_{n - 1}};...;{a_2};{a_1};{a_0}\) là các chữ số. Khi đó ta có các dấu hiệu chia hết như sau:

\(A \vdots 2 \Leftrightarrow {a_0} \vdots 2 \Leftrightarrow {a_0} \in \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}\)

\(A \vdots 3 \Leftrightarrow \left( {{a_0} + {a_1} + ... + {a_{n - 1}} + {a_n}} \right) \vdots 3\).

\(A \vdots 4 \Leftrightarrow \overline {{a_1}{a_0}}  \vdots 4\)

\(A \vdots 5 \Leftrightarrow {a_0} \vdots 5 \Leftrightarrow {a_0} \in \left\{ {0;5} \right\}\).

\(A \vdots 8 \Leftrightarrow \overline {{a_2}{a_1}{a_0}}  \vdots 8\)

\(A \vdots 9 \Leftrightarrow \left( {{a_0} + {a_1} + ... + {a_{n - 1}} + {a_n}} \right) \vdots 9\).

\(A \vdots 11 \Leftrightarrow \left[ {\left( {{a_0} + {a_2} + ...} \right) - \left( {{a_1} + {a_3} + ...} \right)} \right] \vdots 11\).

\(A \vdots 25 \Leftrightarrow \overline {{a_1}{a_0}}  \vdots 25\)

\(A \vdots 125 \Leftrightarrow \overline {{a_2}{a_1}{a_0}}  \vdots 125\)

B. CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Sử dụng tính chất trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n \(\left( {n \ge 1} \right)\)

* Cơ sở phương pháp: Sử dụng các tính chất cơ bản như: tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2, tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 và 3 do đó chia hết cho 6. Chúng ta vận dụng linh hoạt các tính chất cơ bản này trong nhiều các bài toán về chia hết.

Bài toán 1. Chứng minh rằng:

a) Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6

b) Tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8

c) Tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120

Hướng dẫn giải

a) Trong 3 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 (do (2, 3) = 1)

b) Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2n và \(\left( {2n + 2} \right)\) với \(n \in Z\)

Do đó tích hai số nguyên liên tiếp có dạng \(4n\left( {n + 1} \right)\)

Do n và n + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên \(n\left( {n + 1} \right) \vdots 2\)

Vì thế \(4n\left( {n + 1} \right) \vdots 8\)

c) Ta có 120 = 3.5.8

Do 5 số nguyên liên tiếp có 3 số liên tiếp nên theo ý a) ta có tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.

5 số nguyên liên tiếp có 2 số chẵn liên tiếp nên theo ý b) ta có tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8.

Mặt khác 5 số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 5 nên tích chúng cũng chia hết cho 5.

Vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 120.

Chú ý: Tổng quát ta có tích của n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n!

Bài toán 2. Chứng minh rằng tích của 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho 48

Hướng dẫn giải

Ba số chẵn liên tiếp có dạng 2n, \(\left( {2n + 2} \right)\) và \(\left( {2n + 4} \right)\) với \(n \in Z\)

Do đó tích hai số nguyên liên tiếp có dạng \(8n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\)

Do \(n,\left( {n + 1} \right)\) và \(\left( {n + 2} \right)\) là 3 số nguyên liên tiếp nên \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \vdots 6\)

Vì thế \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) = 6m\) \(\left( {m \in Z} \right)\)

Do đó tích của 3 số chẵn liên tiếp là \(8n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) = 48m \vdots 48\)

Vậy bài toán được chứng minh.

Bài toán 3. Chứng minh với mọi số nguyên \(n\) thì \({n^3} - n\) chia hết cho 6

Hướng dẫn giải

Ta có:

\({n^3} - n = n\left( {{n^2} - 1} \right) = \left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\)

Biểu thức là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên một trong 3 số chia hết cho 2, và một trong 3 số chia hết cho 3 mà \(\left( {2,3} \right) = 1\) nên \(\left( {{n^3} - n} \right) \vdots 6\)

Bài toán 4. Chứng minh với mọi số nguyên lẻ \(n\) thì \({n^6} - {n^4} - {n^4} + 1\) chia hết cho 128

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}{n^6} - {n^4} - {n^2} + 1 = {n^4}\left( {{n^2} - 1} \right) - \left( {{n^2} - 1} \right)\\ = \left( {{n^2} - 1} \right)\left( {{n^4} - 1} \right) = {\left( {{n^2} - 1} \right)^2}\left( {{n^2} + 1} \right)\end{array}\)

Vì n là số lẻ nên đặt \(n = 2k + 1\)  \(\left( {k \in N} \right)\) Ta có:

\({\left( {{n^2} - 1} \right)^2} = {\left[ {{{\left( {2k + 1} \right)}^2} - 1} \right]^2} = {\left( {4{k^2} + 4k} \right)^2} = {\left[ {4k\left( {k + 1} \right)} \right]^2}\)

Ta có \(k\left( {k + 1} \right)\) chia hết cho 2 nên \({\left[ {4k\left( {k + 1} \right)} \right]^2} \vdots 64\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}{n^2} + 1 = {\left( {2k + 1} \right)^2} + 1\\ = 4{k^2} + 4k + 2 = 2\left( {2{k^2} + 2k + 1} \right) \vdots 2\end{array}\)

Do đó   \({n^6} - {n^4} - {n^2} + 1 = {\left( {{n^2} - 1} \right)^2}\left( {{n^2} + 1} \right) \vdots 128\)  (đpcm)

Chú ý: Bình phương của một số lẻ là số lẻ

Dạng 2: Phân tích thành nhân tử

Cơ sở phương pháp: Để chứng minh \(A\left( x \right)\) chia hết cho \(p\) ta phân tích \(A\left( x \right) = D\left( x \right).p\), còn nếu không thể đưa ra phân tích như vậy ta có thể viết \(p = k.q\)

Nếu \(\left( {k,q} \right) = 1\) ta chứng minh \(A\left( x \right)\) chia hết cho \(k\) và q.

Nếu \(\left( {k,q} \right) \ne 1\) ta viết \(A\left( x \right) = B\left( x \right).C\left( x \right)\) rồi chứng minh \(B\left( x \right)\) chia hết cho \(k\) và \(C\left( x \right)\) chia hết cho q.

Ví dụ minh hoạ:

Bài toán 1. Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thoả mãn điều kiện:

\({\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\).

Chứng minh rằng: \({a^3} + {b^3} + {c^3}\) chia hết cho 3.

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{a + b + c}}{{abc}} = 0\end{array}\)

Vì \(a,b,c \ne 0\) nên \(a + b + c = 0\)

\( \Rightarrow a + b =  - c\)

\( \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^3} = {\left( { - c} \right)^3}\)

\( \Rightarrow {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right) =  - {c^3}\)

\( \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\)

 Vậy \({a^3} + {b^3} + {c^3} \vdots 3\) với \(a,b,c \in Z\)

Bài toán 2. Cho \(A = 1.2.3...29\),     \(B = 30.31.32...58\)

Chứng minh rằng A + B chia hết cho 59.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}B = \left( {59 - 29} \right)\left( {59 - 28} \right)\left( {59 - 27} \right)...\left( {59 - 1} \right)\\ = 59k - 1.2.3...29 = 59k - A\end{array}\)

  \(\left( {k \in Z} \right) \Rightarrow A + B = 59k \vdots 59\)

Vậy A + B chia hết cho 59.

Bài toán 3. Cho 3 số nguyên dương x, y, z. Chứng minh rằng:

\({\left( {x - y} \right)^5} + {\left( {y - z} \right)^5} + {\left( {z - x} \right)^5}\) chia hết cho \(5\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(a = x - y,b = y - z \Rightarrow z - x =  - \left( {a + b} \right)\)

Do đó ta cần chứng minh: \({a^5} + {b^5} - {\left( {a + b} \right)^5}\) chia hết cho \( - 5ab\left( {a + b} \right)\)

Ta có: \({a^5} + {b^5} - {\left( {a + b} \right)^5} =  - \left( {5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4}} \right)\)

\( =  - 5ab\left( {{a^3} + {b^3} + 2{a^2}b + 2a{b^2}} \right)\)

\( =  - 5ab\left[ {\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + 2ab\left( {a + b} \right)} \right]\)

\( =  - 5ab\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\)

Do đó bài toán được chứng minh.

Bài toán 4. Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn ta luôn có \({\left( {a + b + c} \right)^3} - {\left( {a + b - c} \right)^3} - {\left( {b + c - a} \right)^3} - {\left( {a - b + c} \right)^3}\) chia hết cho 96

Hướng dẫn giải

Đặt \(a + b - c = z;b + c - a = x;a + c - b = y\) thì \(x + y + z = a + b + c\).

Ta có \({\left( {x + y + z} \right)^3} - {x^3} - {y^3} - {z^3} = 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right) = 3.2c.2a.2b = 24abc\)

Do 3 số a, b, c có 2 số chẵn nên abc chia hết cho 4 do đó 24abc chia hết cho \(24.4 = 96\)

Vậy bài toán được chứng minh.

Dạng 3: Sử dụng phương pháp tách tổng

Cơ sở phương pháp: Để chứng minh \(A(x)\) chia hết cho p ta biết đổi \(A\left( x \right)\) thành tổng các số hạng rồi chứng minh mỗi số hạng chia hết cho p.

Ví dụ minh hoạ:

Bài toán 1. Chứng minh m, n là số nguyên ta có:

a) \(n\left( {{n^2} + 11} \right) \vdots 6\)

b) \(mn\left( {{m^2} - {n^2}} \right) \vdots 6\)

c) \(n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right) \vdots 6\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(n\left( {{n^2} + 11} \right) = {n^3} + 11n = {n^3} - n + 12n = \left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right) + 12n\)

Dễ chứng minh: \(\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right) \vdots 6\), \(12n \vdots 6\left( {n \in Z} \right)\)